hay algunas bonitas conceptos nebulosos En matemáticas, eso puede ser difícil de entender, pero pensábamos que habíamos cubierto el significado de «iguales».

Resulta que los matemáticos en realidad no pueden ponerse de acuerdo sobre la definición de qué hace que dos cosas sean iguales, y eso podría causar algunos dolores de cabeza a los programas informáticos que se utilizan cada vez más para comprobar demostraciones matemáticas.

Esta disputa académica ha estado burbujeando durante décadas, pero finalmente ha llegado a un punto crítico porque los programas de computadora utilizados para «formalizar» o verificar pruebas deben tener instrucciones claras y específicas; Definiciones no ambiguas de conceptos matemáticos que estén abiertas a interpretación o que dependan de un contexto que las computadoras no tienen.

El matemático británico Kevin Buzzard, del Imperial College de Londres, se topó con este problema cuando colaboraba con programadores informáticos, lo que le impulsó a revisar las definiciones de ‘esto es igual a aquello’, para «desafiar varios lemas que suenan razonables sobre la igualdad».

«Hace seis años», Buzzard escribe en su preimpresión publicado en el servidor arXiv, «Pensé que entendía la igualdad matemática. Pensé que era un término bien definido… Luego comencé a intentar hacer matemáticas de nivel de maestría en un demostrador de teoremas por computadora, y descubrí que la igualdad era un tema bastante más espinoso. concepto del que había apreciado.»

El signo igual (=), con sus dos líneas paralelas que representan elegantemente una paridad entre objetos colocados a ambos lados, fue inventado por un matemático galés. Robert Recordeen 1557.

Él no me di cuenta al principiopero con el tiempo el símbolo brillantemente intuitivo de Recorde reemplazó la frase latina ‘aequalis’ y más tarde sentó las bases para la informática. Exactamente 400 años después de su invención, el signo igual se utilizó por primera vez como parte de un lenguaje de programación informática, FORTRAN I, en 1957.

El concepto de igualdad tiene un historia mucho más larga Sin embargo, se remonta al menos a la antigua Grecia. Y los matemáticos modernos, en la práctica, utilizan el término «más bien vagamente», Buzzard escribe.

En el uso familiar, el signo igual establece ecuaciones que describen diferentes objetos matemáticos que representan el mismo valor o significado, algo que se puede demostrar con algunos cambios y transformaciones lógicas de un lado a otro. Por ejemplo, el número entero 2 puede describir un par de objetos, al igual que 1 + 1.

Pero los matemáticos han utilizado una segunda definición de igualdad desde finales del siglo XIX, cuando surgió la teoría de conjuntos.

La teoría de conjuntos ha evolucionado y, con ella, la definición de igualdad de los matemáticos también se ha ampliado. Un conjunto como {1, 2, 3} puede considerarse «igual» a un conjunto como {a, b, c} debido a una comprensión implícita llamada isomorfismo canónico, que compara similitudes entre las estructuras de grupos.

«Estos conjuntos se corresponden entre sí de una manera completamente natural y los matemáticos se dieron cuenta de que sería muy conveniente si también los llamáramos iguales», Buzzard dijo Nuevos científicos Álex Wilkins.

Sin embargo, interpretar el isomorfismo canónico como sinónimo de igualdad ahora está causando «algunos problemas reales», dijo Buzzard. escribepara matemáticos que intentan formalizar pruebas (incluidos conceptos fundamentales de décadas de antigüedad) utilizando computadoras.

«Ninguno de los [computer] Los sistemas que existen hasta ahora capturan la forma en que matemáticos como Grothendieck usan el símbolo igual», Buzzard dijo Wilkins, en referencia a Alexander Grothendieck, un destacado matemático del siglo XX que se basó en la teoría de conjuntos para describir la igualdad.

Algunos matemáticos piensan que deberían simplemente redefinir los conceptos matemáticos para equiparar formalmente Isomorfismo canónico con igualdad.

Buzzard no está de acuerdo. Él cree que la incongruencia entre los matemáticos y las máquinas debería impulsar a las mentes matemáticas a repensar qué quieren decir exactamente con conceptos matemáticos tan fundamentales como la igualdad para que las computadoras puedan entenderlos.

«Cuando uno se ve obligado a escribir lo que realmente quiere decir y no puede esconderse detrás de palabras tan mal definidas», Buzzard escribe. «A veces uno se encuentra con que tiene que hacer un trabajo extra, o incluso repensar cómo se deben presentar ciertas ideas.»

La investigación ha sido publicada en arXiv.