Los matemáticos asistieron a la conferencia de Roger Apéry en una conferencia del Centro Nacional Francés de Investigación Científica en junio de 1978 con gran escepticismo. La presentación se tituló “Sobre la irracionalidad de ζ(3)”, y causó un gran revuelo entre los expertos.
El valor de la función zeta ζ(3) había sido una cuestión abierta durante más de 200 años. El brillante matemático suizo Leonhard Euler se había iniciado en ello y no logró resolverlo. Ahora Apéry, un matemático francés relativamente desconocido y de unos 60 años en ese momento, había afirmado haber resuelto este enigma centenario. Muchos en el público tenían dudas.
La conferencia de Apéry no mejoró su opinión. Hablaba en francés, de vez en cuando hacía bromas y omitía explicaciones cruciales que eran relevantes para la prueba. Por ejemplo, desde el principio escribió una ecuación que nadie en la sala conocía, pero que constituía el núcleo de su demostración. Cuando se le preguntó de dónde venía esta ecuación, Se dice que Apéry respondió“Crecen en mi jardín”, lo que supuestamente provocó que muchos en la audiencia se levantaran y abandonaran la sala.
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Pero alguien presente tenía una calculadora electrónica (un dispositivo poco común en esa época) y, con un programa corto, verificó la ecuación de Apéry y la encontró correcta. Con eso, Apéry volvió a captar la atención de la sala. “La increíble prueba de Apéry parece ser una mezcla de milagros y misterios” escribió el matemático Alfred van der Poortenque asistió a la conferencia.
Los expertos tardaron varias semanas en comprender y comprobar los detalles de la prueba. En realidad, Apéry no les facilitó la tarea: en una reunión, por ejemplo, empezó a hablar sobre el estado de la lengua francesa en lugar de dedicarse a las matemáticas. Pero después de unos dos meses, quedó claro que Apéry había logrado hacer lo que a Euler se le había escapado 200 años antes. Pudo demostrar que ζ(3) es un número irracional.
Una conexión con los números primos
La historia de las funciones zeta se remonta a mucho tiempo atrás. En 1644, el matemático italiano Pietro Mengoli se preguntó qué pasaría si sumaras el recíproco de todos los números cuadrados: 1 + 1⁄4 + 1⁄9 + … Sin embargo, no pudo calcular el resultado. Otros expertos también fracasaron en la tarea, incluida la famosa familia de científicos Bernoulli en Basilea, Suiza. De hecho, pasaron otros 90 años antes de que otro residente de esa ciudad, entonces Euler, 27 añosencontró la solución al llamado Problema de Basilea: Euler calculó que la suma infinita es π2⁄6.
Pero Euler decidió dedicarse al problema más general que nos ocupaba. Estaba interesado en toda una clase de problemas, incluido encontrar la suma de los recíprocos de números cúbicos, números elevados a la cuarta potencia, etc. Para ello, Euler introdujo la llamada función zeta ζ(s), que contiene una suma infinita:
El problema de Basilea es sólo una de muchas funciones zeta y corresponde al valor ζ(2). Euler quería encontrar una solución para todo valores de la función zeta. Y de hecho logró calcular el resultado para valores pares, s = 2k. En este caso,
dónde pag y q son números enteros y por tanto la respuesta es siempre un número irracional.
Sin embargo, Euler no pudo aclarar cómo cambia el resultado cuando s es un número impar. Pudo calcular los primeros decimales de los resultados, pero no el valor numérico exacto. No pudo determinar si la función zeta para números impares también asume valores irracionales o si el resultado se puede representar como una fracción.
En los años y décadas siguientes, la función zeta recibió mucha atención y se entrelazó con lo que se encuentra entre los Los mayores misterios de las matemáticas. hoy. En el siglo XIX, el matemático alemán Bernhard Riemann no sólo evaluó la función zeta para números naturales s pero también para números complejos: valores reales que pueden contener raíces cuadradas de números negativos. En 1859 ese cambio le permitió expresar lo que más tarde se conocería como la famosa hipótesis de Riemann. Con él se puede, en principio, determinar la distribución de los números primos a lo largo de la recta numérica. Debido a que comprender los números primos es esencial no sólo para la teoría de números sino que también tiene aplicaciones en campos como la criptografía, que se basa en la generación de números primos para un cifrado seguro, hay mucho en juego en torno a este misterio. Cualquiera que pueda resolver la hipótesis de Riemann puede ganar un premio de un millón de dólares.
A pesar de toda la atención prestada a la función zeta, nadie logró determinar el valor exacto de ζ(3), y mucho menos encontrar una fórmula generalmente válida para todos los valores impares de la función zeta, como Euler había logrado hacer con los números pares. . Las cosas se volvieron particularmente interesantes cuando apareció ζ(3) en la física en el siglo XX.
La función Riemann Zeta en física
A principios del siglo XX, los físicos descubrieron la mecánica cuántica: una teoría radical que puso patas arriba la comprensión anterior de la naturaleza. Aquí la frontera entre partículas y ondas se vuelve borrosa; ciertos valores, como la energía, sólo aparecen en pedazos (cuantizados), y las fórmulas de las leyes de la naturaleza contienen incertidumbres que no se basan en errores de medición sino que resultan de las matemáticas mismas.
En la década de 1940, los investigadores lograron formular una teoría cuántica del electromagnetismo. Entre otras cosas, estipula que un vacío nunca está realmente vacío. En lugar de ello, puede contener un verdadero espectáculo de fuegos artificiales de pares partícula-antipartícula de corta duración, materia que aparentemente se crea de la nada pero que inmediatamente se aniquila de nuevo.
Si se quieren describir procesos electrodinámicos, como la dispersión de dos electrones, hay que tener en cuenta este constante estallido de partículas. Esto se debe a que los pares transitorios partícula-antipartícula pueden desviar los electrones de su trayectoria. Resulta que si se quiere describir este efecto, aparece una suma infinita con el recíproco de los cubos, ζ(3).
Para cálculos físicos, basta con conocer el valor numérico de ζ(3) con una precisión de unos pocos decimales. Pero los matemáticos querían saber más sobre este número.
La prueba de Apéry
Apéry pudo determinar que ζ(3) es irracional, muy parecido a la función zeta de valores pares. Su prueba se basó en una representación en serie previamente desconocida de ζ(3), la curiosa ecuación que supuestamente afirmó haber encontrado en su jardín:
Con esta expresión pudo utilizar una condición de irracionalidad que el matemático alemán Gustav Lejeune Dirichlet había deducido en el siglo XIX. Afirma que un número χ es irracional si hay un número infinito de números enteros. pag y q con partes diferentes, de modo que se satisface la siguiente desigualdad:
Aquí do y δ denota valores constantes. Aunque la fórmula parece complicada, básicamente significa que χ se puede aproximar fácilmente mediante fracciones, pero no existe un número fraccionario que corresponda a χ. Apéry logró derivar esta desigualdad para ζ(3). Desde entonces ha quedado claro: ζ(3) es irracional.
Para honrar el trabajo del matemático francés, el valor de ζ(3) lleva ahora su nombre y se conoce como constante de Apéry. Sin embargo, esto no responde a todas las preguntas asociadas con él. Los expertos todavía quieren un valor numérico claro para ζ(3) que pueda expresarse usando constantes conocidas, como es el caso de ζ(2) = π2/6, por ejemplo. Pero hoy todavía estamos lejos de este sueño.
Este artículo apareció originalmente en Spektrum der Wissenschaft y fue reproducido con autorización.