El escultor de portal y calvo convertido en arquitecto debe haber dibujado algunas miradas curiosas mientras establecía un complicado aparato de pintura en la esquina de una Piazza de la era del Renacimiento. Plantó su instrumento, que involucraba un caballete, un espejo y un marco de alambre, cerca de la entonces Catedral de Florencia de Florencia en Italia, una catedral cuya cúpula monumental pronto diseñaría.
Se llamaba Filippo Brunelleschi, y estaba usando el aparato para crear una pintura del bautismo cerca de la catedral. Se dice que esta demostración de sus leyes de perspectiva recientemente descubiertas ocurrió en algún momento entre 1415 y 1420, si sus biógrafos tienen razón. El uso de las leyes de perspectiva asombrada de los espectadores, alteró el curso del arte occidental durante más de 450 años y, más recientemente, condujo a descubrimientos matemáticos que permiten criptografía de curva elíptica. Este es el esquema de seguridad que sustenta Bitcoin y otras criptomonedas y se ha convertido en un rápido crecimiento método de cifrado en otras plataformas de Internet también.
Pero como Arte renacentista ¿Conducir a las matemáticas que gobiernan la criptografía moderna? El cuento abarca seis siglos y dos continentes y toca el infinito mismo. Sus personajes incluyen un prisionero de guerra francés y dos matemáticos atacados en su mejor momento, uno por enfermedad y el otro por la pistola de un duelista.
Sobre el apoyo al periodismo científico
Si está disfrutando de este artículo, considere apoyar nuestro periodismo galardonado con suscripción. Al comprar una suscripción, está ayudando a garantizar el futuro de las historias impactantes sobre los descubrimientos e ideas que dan forma a nuestro mundo hoy.
Fusionando la perspectiva y la geometría
Los primeros pasos en el camino de Brunelleschi a Bitcoin implicó conectar la geometría visual dentro de las reglas de perspectiva con la geometría euclidiana, el reino ordenado de líneas y puntos que nos enseñan en la escuela.
El matemático francés Girard Desargues, que investigó la geometría de la perspectiva en el siglo XVII, fue el primer contribuyente. Sus hallazgos, sin embargo, fueron expresados en un lenguaje bastante oscuro y lucharon por encontrar una audiencia. Sus contribuciones clave se incluyeron en un libro que tenía una impresión de 50 copias, pequeñas incluso para esa época, y muchas de esas copias finalmente fueron compradas por el editor y destruidas. Durante la vida de Desargues, solo su compañero matemático francés Blaise Pascal se convirtió en un ardiente discípulo de su trabajo. Pascal contribuyó con su propio teorema al estudio de lo que se conoció como “geometría proyectiva”.
A pesar de la oscuridad de Desargues, hizo un avance revolucionario al agregar el concepto de puntos y líneas en el infinito a la geometría euclidiana. Al incluir esos puntos, la geometría proyectiva podría fusionarse con la geometría euclidiana de una manera que era consistente para ambos sistemas.
En el sistema de desargues, cada El par de líneas se reúne exactamente en un punto, sin excepciones especiales para líneas paralelas. Además, las parábolas e hipérbolas son equivalentes a las elipses, con la adición de uno o dos puntos en el infinito, respectivamente.
Estas ideas, aunque valiosas, languidecerían en la oscuridad durante más de 100 años. Cuando reaparecieron, no fue porque el trabajo de Desargues fue redescubierto. Más bien, un matemático francés diferente, Gaspard Monge, comenzó a trabajar en las mismas preguntas y obtuvo resultados similares.
Un matemático en la guerra
Sin embargo, el trabajo más completo sobre geometría proyectiva en esta época se produjo en el siglo XIX del ingeniero francés y matemático Jean-victor Poncelet, en circunstancias bastante difíciles.
Poncelet asistió al prestigioso Polytechnique de la École de Francia, graduándose en 1810. Luego se unió al Cuerpo de Ingenieros Militares de Francia como un teniente y se le ordenó a lo que ahora es Bielorrusia para apoyar a Napoleón de Rusia de Rusia en 1812. Él y sus compañeros de las tropas superaron a un quemado y abandonaron a Moscú en septiembre en septiembre de ese año, y cuando los Rusios se referían a los Russians se referían a la Paz de la Paz, a la paz, a los Russians, a los Rusios, a los Rusios, a los Rusios, a los Rusios, a los Russia, a los Russia, a los Rusia, a la Paz de los Rusia. Poncelet estaba con Napoleón cuando el ejército dejó Moscú y comenzó el regreso a Francia.
Poncelet permaneció con el ejército francés hasta la batalla de Krasnoye en Rusia, donde fue separado de su unidad y posiblemente se fue por muerto. Después de la batalla, fue recogido por el ejército ruso y marchó a Saratov, Rusia, a más de 700 millas de Krasnoye y a más de 2,000 millas de su casa en Metz, Francia.
Aunque Poncelet no estaba confinado a una prisión, fue “privado de libros y comodidades de todo tipo”, según una traducción al inglés de su introducción a su primer libro sobre geometría proyectiva. Como mecanismo de afrontamiento, decidió que intentaría reconstruir todas las matemáticas que había aprendido hasta ese momento. Sin embargo, no pudo llevar a cabo este plan, diciendo que estaba “angustiado sobre todo por la desgracia de mi país y mi propia suerte”.
En cambio, esencialmente se expandió en el trabajo de Monge y recreó el trabajo de Desargues de forma independiente. En retrospectiva, tal vez no sea sorprendente que un prisionero de guerra a miles de millas de casa e inseguro de cuándo, o incluso si fuera repatriado, enfocaría sus esfuerzos en la comprensión de los puntos en el infinito, una distancia que podría haber parecido bastante inteligible para alguien en la situación de Poncelet.
Después de que terminó la guerra que terminó la invasión, Poncelet regresó a Francia y su trabajo de dos volúmenes sobre geometría proyectiva, publicado en 1822, fue mucho más bien recibido y ampliamente leído que el trabajo de Desargues.
Integrales y curvas
Alrededor del mismo tiempo, Poncelet estaba terminando su libro sobre geometría proyectiva, el matemático noruego Niels Henrik Abel estaba estudiando integrales elípticas. Estas integrales son expresiones bastante difíciles que comenzaron como partes de un intento de medir la circunferencia de una elipse. Abel descubrió que hay ciertas circunstancias en las que se podría utilizar la inversa de estas integrales elípticas, que se llaman curvas elípticas. Resultó que las curvas son mucho más fáciles de trabajar. Sin embargo, la investigación adicional sobre curvas elípticas se dejaría a otros; Abel murió de tuberculosis a los 26 años en 1829, solo meses después de publicar un artículo importante sobre el tema.
A principios de la década de 1830, el matemático francés Évariste Galois sentó las bases para un nuevo campo de matemáticas. Galois moriría trágicamente pero también obstinadamente en un duelo a los 20 años, pero antes de su muerte expuso los principios de la teoría del grupo, en los que los objetos y operaciones matemáticas que siguen ciertas reglas constituyen un grupo.
Los franceses habían logrado unir la geometría proyectiva con la geometría euclidiana, pero caería ante un matemático alemán, August Möbius (de la fama de la franja de Möbius) para descubrir cómo fusionar la geometría proyectiva con el sistema de coordenadas cartesianas familiarizadas para los estudiantes de álgebra como un medio de gráficos. El sistema que desarrolló, que utiliza lo que se llama coordenadas homogéneas, juega un papel fundamental en la criptografía de la curva elíptica.
Varias décadas más tarde, en 1901, otro matemático francés, Henri Poincaré, se dio cuenta de que los puntos con coordenadas racionales, es decir, puntos con coordenadas que pueden representarse como fracciones en el gráfico de una curva elíptica, compuso un grupo. Lo que Poincaré se dio cuenta es que si definió una operación (típicamente llamada “adición”) que tomó dos puntos racionales en el gráfico de la curva y produjo un tercero, el resultado siempre fue otro punto racional en la curva. Sin embargo, este proceso solo trabajó si utiliza las coordenadas homogéneas descubiertas por Möbius que incluyen un punto en el infinito. Es importante destacar que los grupos de curva elíptica resultaron ser abelianas, lo que significaba que el orden en el que se realizaron esas operaciones de adición no importaban.
Aquí es donde los asuntos estuvieron hasta mediados de la década de 1980, cuando Victor S. Miller, entonces investigador de IBM, y Neal Koblitz de la Universidad de Washington se dieron cuenta independientemente de que podría construir un sistema criptográfico clave público-privado basado en grupos de curva elíptica.
Claves de cifrado
El cifrado de clave pública-privada, que es cómo se asegura casi todo el tráfico en Internet, se basa en dos claves de cifrado. La primera clave, una privada, no se comparte con nadie; Se mantiene de forma segura en el dispositivo del remitente. La segunda clave, la pública, se compone de la clave privada, y esta clave se envía “en claro”, lo que significa que cualquiera puede interceptarla y leerla. Es importante destacar que ambas claves deben descifrar el mensaje que se envía.
En la criptografía de la curva elíptica, cada parte está de acuerdo en una determinada curva, y luego cada una realiza un número aleatorio de operaciones de adición que comienzan desde el mismo punto en la misma curva. Cada parte envía un número correspondiente al punto al que han llegado al otro. Estas son las claves públicas. La otra parte realiza las mismas operaciones adicionales que usaron la primera vez en el nuevo número que recibieron.
Debido a que los grupos de curvas elípticas son conmutativas, lo que significa que no importa en qué orden se lleva a cabo la adición, ambas partes llegarán a un número correspondiente al mismo punto final en la curva, y este es el número que se utilizará para cifrar y descifrar los datos.
La criptografía de la curva elíptica es un reclutamiento relativo del juego de cifrado. El primer conjunto de herramientas no apareció hasta 2004, demasiado tarde para convertirse en un estándar para la web, pero lo suficientemente temprano como para adoptar los inventores de Bitcoin, que se lanzó en 2009.
Su estado como estándar de facto para las criptomonedas hizo que las personas estén más familiarizadas y más cómodas implementándolo, aunque todavía se queda atrás del cifrado RSA, el método estándar en uso hoy en día, por un amplio margen.
Sin embargo, la criptografía de la curva elíptica tiene ventajas distintas sobre la criptografía RSA: proporciona una seguridad más fuerte por bit y es más rápido que RSA. Una clave criptográfica de la curva elíptica de solo 256 bits es aproximadamente tan segura como una clave RSA de 3.072 bits y considerablemente más segura que las teclas de 2,048 bits que se usan comúnmente. Estas claves más cortas permiten una representación de página más rápida para el tráfico web, y hay menos carga de procesador en el lado del servidor. Los principios de la criptografía de la curva elíptica se están utilizando para tratar de desarrollar sistemas criptográficos que sean más resistentes a la cantidad.
Si las tendencias continúan, las matemáticas detrás del punto de fuga descubierto por los artistas del Renaissance hace 600 años pueden ser una parte fundamental del cifrado de Internet en el futuro.