Los matemáticos resuelven un dilema multidimensional de citas de frutas
Finalmente se prueba una conjetura de 40 años sobre las secciones transversales de las formas
En 1986, el matemático belga Jean Bourgain planteó una pregunta aparentemente simple que continuó perturbando a los investigadores durante décadas. No importa cómo deforma una forma convexa, el considerar que moldea una bola de arcilla en una sandía, un fútbol o un fideos largos, ¿siempre podrá cortar una sección transversal más grande que cierto tamaño? Un artículo de Bo’az Klarg del Instituto de Ciencias de Weizmann en Rehovot, Israel, y Joseph Lehec de la Universidad de Poitiers en Francia, Publicado en el sitio de preimpresión arxiv.orgfinalmente ha proporcionado una respuesta definitiva: sí.
El problema de corte de Bourgain pregunta si cada forma convexa en norte Dimensions tiene una “porción” de tal manera que la sección transversal es más grande que algún valor fijo. Para los objetos tridimensionales, esto es como preguntar si un aguacate de un tamaño dado, sin importar la forma exacta, siempre se puede dividir en dos mitades con cada lado revelando al menos una porción considerable. Se dice que Bourgain, un titán de matemáticas, ha pasado más tiempo en este problema que cualquier otro; Aunque puede parecer engañosamente fácil de resolver en las dos o tres dimensiones del mundo físico, rápidamente globa en dificultad cuando consideramos cuatro o cinco. Esta complejidad agregada hace determinante cualquier cosa en norte-Space de dimensión Parece imposible. “Si crees en esta llamada maldición de dimensionalidad, podrías rendirte”, dice Klartag. Afortunadamente, agrega, él y Lehec “pertenecen a una escuela de pensamiento diferente”.
El avance de la pareja se basa en el progreso reciente por el matemático Qingyang Guan de la Academia de Ciencias de China, quienes abordaron el problema con una técnica basada en la física en lugar de la geometría. Específicamente, Guan mostró que modelar cómo se difunde el calor de una forma convexa puede revelar estructuras geométricas ocultas. Los investigadores podrían calcular el relleno de cualquier forma convexa con gas cálido y observar cuidadosamente la disipación del calor de acuerdo con las leyes físicas. La visión clave de Guan, un límite preciso en la rapidez con que cambia la tasa de disipación durante este proceso de calentamiento), se propuso ser justo lo que Klartag y Lehec necesitaban. “Guan está atado a todos los otros hechos clave” conocidos por el problema, dice la matemática Beatrice-Helen Vritsiou de la Universidad de Alberta.
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El resultado permitió que Klartag y Lehec resuelvan el problema en solo unos días. Klartag señala que “fue suerte porque sabíamos [Guan’s result] fue exactamente una de las cosas que necesitábamos “para conectar varios enfoques aparentemente dispares con el rompecabezas. Con esta pieza final en su lugar, la geometría de los cuerpos convexos en altas dimensiones ahora es un poco menos misteriosa, aunque, como siempre en las matemáticas, cada nueva porción revela más preguntas para explorar.