La versión original de esta historia apareció en Revista cuanta.
Las ideas más simples en matemáticas también pueden ser las más desconcertantes.
Tomar suma. Es una operación directa: una de las primeras verdades matemáticas que aprendemos es que 1 más 1 es igual a 2. Pero los matemáticos todavía tienen muchas preguntas sin respuesta sobre los tipos de patrones que la adición puede dar lugar. “Esta es una de las cosas más básicas que puedes hacer”, dijo Benjamin Bedertun estudiante graduado en la Universidad de Oxford. “De alguna manera, todavía es muy misterioso de muchas maneras”.
Al investigar este misterio, los matemáticos también esperan comprender los límites del poder de la adición. Desde principios del siglo XX, han estado estudiando la naturaleza de los conjuntos “sin sumas”, sets de números en los que no hay dos números en el conjunto se sumarán a un tercio. Por ejemplo, agregue dos números impares y obtendrá un número uniforme. El conjunto de números impares es, por lo tanto, gratuito.
En un artículo de 1965, el prolífico matemático Paul Erdős hizo una pregunta simple sobre qué tan comunes son los conjuntos sin sumas. Pero durante décadas, el progreso en el problema fue insignificante.
“Es una cosa muy básica que tuvimos sorprendentemente poco comprensión”, dijo Julian SahasrabudheMatemático en la Universidad de Cambridge.
Hasta este febrero. Sesenta años después de que Erdős planteara su problema, Bedert lo resolvió. Mostró que en cualquier conjunto compuesto de enteros, los números de conteo positivos y negativos) un gran subconjunto de números que deben estar libres de suma. Su prueba llega a las profundidades de las matemáticas, perfeccionando técnicas de campos dispares para descubrir la estructura oculta no solo en conjuntos sin suma, sino en todo tipo de otros entornos.
“Es un logro fantástico”, dijo Sahasrabudhe.
Atascado en el medio
Erdős sabía que cualquier conjunto de enteros debe contener un subconjunto más pequeño y sin suma. Considere el conjunto {1, 2, 3}, que no está libre de suma. Contiene cinco subconjuntos diferentes sin sumas, como {1} y {2, 3}.
Erdős quería saber cuán lejos se extiende este fenómeno. Si tiene un set con un millón de enteros, ¿qué tan grande es su mayor subconjunto gratuito?
En muchos casos, es enorme. Si elige un millón de enteros al azar, alrededor de la mitad de ellos serán extraños, lo que le dará un subconjunto gratuito con aproximadamente 500,000 elementos.
En su artículo de 1965, Erdős demostró, en una prueba que tenía solo unas pocas líneas, y aclamado como brillante por otros matemáticos, que cualquier conjunto de norte Integers tiene un subconjunto sin suma de al menos norte/3 elementos.
Aún así, no estaba satisfecho. Su prueba trató con los promedios: encontró una colección de subconjuntos sin sumas y calculó que su tamaño promedio era norte/3. Pero en una colección de este tipo, se cree que los subconjuntos más grandes son mucho más grandes que el promedio.
Erdős quería medir el tamaño de esos subconjuntos sin sumas extra grandes.
Los matemáticos pronto plantearon la hipótesis de que a medida que su set se hace más grande, los subconjuntos sin sumas más grandes se harán mucho más grandes que norte/3. De hecho, la desviación crecerá infinitamente grande. Esta predicción: que el tamaño del subconjunto sin sumas más grande es norte/3 más un poco de desviación que crece hasta el infinito con norteAhora se conoce como la conjetura de conjuntos gratuitos.