Una variación de un rompecabezas llamado “Problema de palos de recogida” hace la siguiente pregunta: si tengo un número de palos con longitudes aleatorias entre 0 y 1, ¿cuáles son las posibilidades de que no tres de esos palos puedan formar un triángulo? Resulta que la respuesta a este dilema tiene un paralelo inesperado a un patrón que se encuentra en toda la naturaleza.
La secuencia de Fibonacci es una colección ordenada de números en la que cada término es igual a los dos anteriores agregados juntos. Va así: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …, y así sucesivamente. Estos números aparecen prácticamente en todas partes. Si mira una planta con espirales, como un cono de pino o una piña, lo más probable es que el número de espirales que vaya en cada dirección serán términos consecutivos de la secuencia de Fibonacci. Pero un par de jóvenes investigadores se sorprendieron al descubrir que este patrón y el problema de los palos de recogida están profundamente conectados.
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El problema de los palos de recogida es una variante del “problema de palo roto”, que se remonta a al menos 1854. En su iteración más simple, el problema del palo roto pregunta la probabilidad de que un palo roto al azar en tres piezas pueda formar un triángulo. (En el problema del palo de recogida, las longitudes no necesitan sumar a un todo particular, por lo que las posibles longitudes se distribuyen de manera diferente). Más de un siglo después, en el Edición de octubre de 1959 de Scientific American, Martin Gardner escribió sobre el problema del palo roto para su columna de juegos matemáticos. Gardner lo destacó como un ejemplo clásico del naturaleza contradictoria de problemas en probabilidad y estadísticas. En un papel de preimpresión Publicado en el servidor arxiv.org en mayo, los jóvenes investigadores y sus colaboradores exploran una nueva variación del problema de los palos de recogida.
Este esfuerzo comenzó cuando Arthur Sun, un estudiante universitario de primer año en la Universidad de Cambridge, pensó en un problema para un concurso de matemáticas universitarias. ¿Cuál es la probabilidad, se preguntó, que de cuatro palos con longitudes aleatorias entre 0 y 1, no tres podrían hacer un triángulo? Alistó la ayuda de su amigo Edward Wang, en ese momento un estudiante de 12º grado en Scotch College, una escuela secundaria en Australia, donde él y Sun se conocieron originalmente. Juntos, Wang y Sun modelaron el problema en sus computadoras y realizaron ensayos aleatorios una y otra vez, haciendo un seguimiento de los resultados de cada ensayo. A la pareja le pareció que cuatro palos no podían hacer un triángulo entre ellos muy cerca de un sexto del tiempo.
Pronto Wang y Sun comenzaron a preguntarse cuál era la respuesta para grupos más grandes de palos. Alistaron la ayuda de David Treeby, un matemático afiliado a la Universidad Monash de Australia y maestro en Scotch College. El grupo ejecutó aún más simulaciones, y pronto comenzó a surgir un patrón.
Según las simulaciones de los investigadores, si norte fue el número de palos seleccionados al azar, la posibilidad de no tener un triángulo válido entre ellos fue el recíproco de la primera norte Los números de Fibonacci se multiplicaron juntos. Por ejemplo, si elige seis palos al azar, la probabilidad de que no pueda hacer un triángulo con ellos es 1 / (1 × 1 × 2 × 3 × 5 × 8) = 1⁄240. El equipo se sorprendió de que la famosa secuencia estuviera conectada al problema del triángulo. “No tendríamos ninguna razón para sospechar que lo sería”, dice Treeby, “pero era imposible que no fuera”.
Los investigadores comenzaron a desarrollar una prueba de por qué esta conexión debe ser cierta, pero necesitaban un experto en estadísticas para unirlo todo. Trajeron un cuarto colaborador, el ex matemático de Monash Aidan Sudbury. Había estado disfrutando felizmente de su retiro cuando el equipo se le acercó.
“Inmediatamente me sorprendió que era un problema encantador”, dice. “¡Encantador!” Juntos, los cuatro investigadores resolvieron una prueba sólida del patrón que Sun y Wang habían notado. Aunque Resultados relacionados se han demostrado utilizando métodos similares y abarcando una amplia gama de problemas de palo y triángulo, algunos expertos en el campo encuentran que la simplicidad de este nuevo documento es refrescante. “Lo bueno de esto es: está muy bien escrito”, dice Steven Miller, matemático en Williams College y presidente de la Asociación Fibonacci. “Es accesible, es fácil de leer y está extendiendo un problema muy famoso”.
Para comprender la solución de palos de recogida, piense en el caso más pequeño posible. Supongamos que tiene tres palos con tamaños aleatorios entre 0 y 1. Cualquiera de los tres palos puede formar un triángulo si, y solo si, ningún palo es más largo que los otros dos juntos. Si tiene palos de longitudes 1, 2 y 300, no importa cuán ancho sea un ángulo entre ellos, los dos primeros palos nunca podrían estirarse lo suficientemente ancho como para acomodar el tercero. Esto se llama “la desigualdad del triángulo”: si A, B y do Representar la longitud de los palos de más corto a más largo, solo no formarán un triángulo cuando a + + b ≤ do.
Para encontrar la probabilidad de que tres longitudes aleatorias formen un triángulo, los matemáticos pueden considerar cada conjunto de tres longitudes como punto en el espacio tridimensional (por ejemplo, longitudes 1⁄2, 1⁄6 y 1⁄3 están representados por el punto [1⁄2, 1⁄6,1⁄3]). Debido a que las longitudes caen entre 0 y 1, el conjunto de todos estos puntos puede representarse mediante un cubo unitario:
Luego, los investigadores analizan el subconjunto de este cubo donde los puntos satisfacen la desigualdad del triángulo, una forma que se ve así:
Con un poco de geometría, resulta que esta forma es exactamente la mitad del volumen del cubo. Por lo tanto, tres longitudes recogidas al azar podrán formar un triángulo exactamente la mitad del tiempo, como 1 / (1 × 1 × 2) = 1⁄2.
¿Dónde entra Fibonacci? Supongamos que se ordena una colección de cualquier número de palos de la más corta a la más larga. Si no hay tres entre ellos un triángulo, la longitud de cada palo debe ser mayor o igual a la suma de los dos anteriores, de lo contrario, esos tres palos podrían hacer un triángulo. En la secuencia Fibonacci, cada número es precisamente igual a la suma de los dos anteriores. En otras palabras, cada segmento de la secuencia de Fibonacci está lo más cerca posible de tener un triángulo sin tener uno. En palabras de Treeby, “Si nosotros [avoid triangles] con codicia, la secuencia de Fibonacci aparece naturalmente “.
Los investigadores sienten que debería haber algún camino directamente desde esta idea hasta una prueba del teorema de los palos de recogida. Sin embargo, no pudieron encontrar uno. “Esperamos encontrar algo que fuera un poco más … intuitivo, pero no pudimos formalizar nuestro pensamiento”, dice Treeby. En su lugar, su artículo usa integrales para calcular los volúmenes de alta dimensión directamente, un método un poco como mirar el área dentro del cubo de arriba (pero sin la referencia visual). Los investigadores no están al acecho por una prueba diferente en este momento, pero esperan que alguien más pueda encontrar una.
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