Cuando los números aumentan, las cosas se ponen raras
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En 2025, los límites de las matemáticas se hicieron un poco más evidentes cuando los miembros de la comunidad en línea Busy Beaver Challenge se acercaron a un enorme número que amenaza con desafiar los fundamentos lógicos de la materia.
Este número es el siguiente en la secuencia “Busy Beaver”, una serie de números cada vez más grandes que surge de una pregunta aparentemente simple: ¿cómo sabemos si un programa de computadora se ejecutará para siempre?
Para averiguarlo, los investigadores recurren al trabajo del matemático Alan Turing, quien demostró que cualquier algoritmo informático puede imitarse imaginando un dispositivo simplificado llamado máquina de Turing. Los algoritmos más complejos corresponden a máquinas de Turing con conjuntos de instrucciones más grandes o, en lenguaje matemático, más estados.
Cada número BB(n) de Busy Beaver captura el tiempo de ejecución más largo posible para una máquina de Turing con n estados. Por ejemplo, BB(1) es 1 y BB(2) es 6, por lo que hacer que el algoritmo sea dos veces más complejo aumenta seis veces su tiempo de ejecución. Pero la tasa de este aumento resulta ser extrema, por ejemplo, el quinto número de Busy Beaver es 47.176.870.
Los miembros del Busy Beaver Challenge determinaron el valor exacto de BB(5) en 2024, lo que puso fin a un esfuerzo de 40 años para estudiar todas las máquinas de Turing con cinco estados. Entonces, naturalmente, 2025 estuvo marcado por una persecución colectiva de BB(6).
En julio, un miembro conocido como mxdys descubrió un límite inferior en su tamaño, y ese número resultó no sólo ser mucho mayor que BB(5), sino realmente enorme incluso si se compara con el número de partículas de nuestro universo.
Escribir todos sus dígitos es físicamente imposible, por lo que los matemáticos utilizan en su lugar un tipo de notación llamada tetración. Esto equivale a elevar repetidamente un número a una potencia superior, por ejemplo, 2 tetrado a 2 es igual a 2 elevado a la potencia de 2 elevado a la potencia de 2, que es 16. BB(6) es al menos 2 tetrado a 2 tetrado a 2 tetrado a 9, una torre gigantesca de tetración iterada.
Definir BB(6) no será sólo una cuestión de establecer récords, sino que también puede tener profundas implicaciones para todas las matemáticas. Esto se debe a que Turing demostró que debe haber algunas máquinas de Turing cuyo comportamiento no puede predecirse según un conjunto de axiomas llamado teoría ZFC, que constituye la base sobre la que se asienta toda la matemática moderna estándar.
Los investigadores ya han demostrado que BB(643) eludiría la teoría ZFC, pero si esto podría suceder con números más pequeños es una pregunta abierta, una pregunta que el Busy Beaver Challenge puede contribuir a responder.
En julio había 2.728 máquinas de Turing que tenían seis estados pero cuyo comportamiento de parada aún no había sido comprobado. En octubre, esa cifra se redujo a 1618. “La comunidad está siendo muy activa en este momento”, dice el informático Tristan Stérin, quien lanzó el Busy Beaver Challenge en 2022.
Una de las máquinas de reserva podría tener la clave del valor exacto de BB(6). Uno de ellos también podría resultar incognoscible, exponiendo los límites del marco ZFC y gran parte de las matemáticas modernas. A lo largo del próximo año, los entusiastas de las matemáticas de todo el mundo sin duda trabajarán arduamente para comprenderlas todas.
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