Aquí están las respuestas al cuestionario festivo de matemáticas programado para el 23 de diciembre. Espero que lo hayan disfrutado.
Rompecabezas 1: Te dan nueve monedas de oro que parecen idénticas. Te dicen que una de ellas es falsa y que esta moneda pesa menos que las reales. Utilizando una balanza antigua, ¿cuál es el menor número de pesadas necesarias para determinar cuál es la moneda falsa?
Solución: Puedes hacer esto en sólo dos pesadas:
(1) Divida las nueve monedas en tres conjuntos de tres y elija dos de estos conjuntos para pesarlos entre sí. Si un juego es más claro que el otro, entonces la falsificación es una de estas tres monedas. Si los dos juegos pesan lo mismo, entonces la falsificación está en las tres monedas no pesadas.
(2) Ahora toma el juego con la moneda falsa y pesa dos de sus monedas entre sí. Si uno es más claro, ese es el falso. Si pesan lo mismo, entonces la tercera moneda es falsa.
Relacionado: Este patrón secreto escondido en el Sudoku te dejará boquiabierto
Rompecabezas 2: Te han transportado al pasado para ayudar a preparar la cena de Navidad. Tu trabajo es hornear el pastel de Navidad, pero todo lo que tienes son dos cronómetros: uno que mide exactamente cuatro minutos y otro que mide exactamente siete minutos. ¿Cómo puedes cronometrar diez minutos exactamente?
Solución: Hay varias respuestas a este acertijo, pero suponiendo que el chef quiera que cocines este pastel lo más rápido posible, aquí te explicamos cómo hacerlo:
– Iniciar ambos cronómetros al mismo tiempo.
– Una vez finalizado el cronómetro de cuatro minutos, al cronómetro de siete minutos le quedarán tres minutos. En este punto, mete la tarta en el horno.
– Una vez transcurridos los tres minutos restantes del cronómetro de siete minutos, déle la vuelta al cronómetro de siete minutos.
– Deje que el cronómetro de siete minutos siga su ciclo completo y luego saque el pastel inmediatamente. La tarta habrá estado en el horno diez minutos exactos.
Puzzle 3: Ahora te corresponde distribuir el vino caliente, que actualmente se encuentra en dos barriles llenos de diez litros. El chef te entrega una botella de cinco litros y otra de cuatro litros, ambas vacías. Te ordena llenar las botellas con exactamente tres litros de vino cada una, sin desperdiciar ni una gota. ¿Cómo puedes hacer esto?
Solución: Aquí hay una solución en 11 pasos (consulte la tabla a continuación), registrando las cantidades de vino caliente en cada barril y botella. B1 y B2 son los dos barriles de diez litros; b5 y b4 son las botellas de cinco y cuatro litros respectivamente.
Nota: Es posible que hayas encontrado una solución más rápida que la mía, ¡pero esto es lo que se me ocurrió a mí!
Rompecabezas 4: Supongamos que hay 100 días de Navidad. El día enésimo, recibirás £n como regalo, que van desde £1 el primer día hasta £100 el último día. ¿Puedes calcular la cantidad total de dinero que te dan sin sumar laboriosamente los 100 números?
Solución: Cuando su profesor de matemáticas le planteó esta pregunta a Carl Friedrich Gauss, se dice que el matemático en ciernes realizó el siguiente cálculo:
Sea s la suma de los primeros 100 dígitos. Entonces podemos escribir: s = 1 + 2 + 3 + 4 +… + 99 + 100
Pero también podemos escribir esto al revés: s = 100 + 99 + 98 +… + 4 + 3 + 2 + 1
Si ahora sumamos estas dos ecuaciones verticalmente término por término, vemos que el lado izquierdo es s + s = 2s.
En el lado derecho, sumando de nuevo verticalmente, la suma de cada dos términos es siempre la misma, es decir, 101 (1 + 100, 2 + 99, etc.). Y hay 100 términos en total, por lo que el cálculo sencillo del total del lado derecho es 100 * 101 = 10,100.
Por lo tanto: 2s = 10.100 y s = 5.050. La cantidad total de dinero que recibe es £5.050.
Rompecabezas 5: Aquí tienes una secuencia navideña de números. Los primeros seis de la secuencia son: 9, 11, 10, 12, 9, 5… (Nota: el quinto número es 11 en algunas versiones de este rompecabezas). ¿Cuál es el siguiente número en esta secuencia?
Solución: Esta secuencia es el número de letras en cada regalo consecutivo entregado durante los 12 días de Navidad. Entonces la respuesta es 5, para los cisnes. Aquí está la lista completa:
Perdiz (9), tórtolas (11), gallinas francesas (10), pájaros cantores (12), anillos de oro (9 u 11 para los que cantan “dorado”), gansos (5), cisnes (5), doncellas (5), damas (6), señores (5), gaiteros (6), tamborileros (8).
Nota: esto podría parecer un acertijo no matemático, pero las matemáticas (y, en términos más generales, el pensamiento crítico y creativo) se basan en parte en detectar patrones que pueden parecer un poco tenues al principio. El reclutamiento para el cuartel general de descifrado de códigos de los Aliados en Bletchley Park durante la Segunda Guerra Mundial se basó en parte en la capacidad de resolver un crucigrama críptico.
Rompecabezas 6: ¿Cuál de las siguientes 100 afirmaciones es la única verdadera?
Exactamente una afirmación de esta lista es falsa. Exactamente dos afirmaciones de esta lista son falsas… y así sucesivamente hasta: Exactamente 99 afirmaciones de esta lista son falsas. Exactamente 100 afirmaciones de esta lista son falsas.
Solución: Sólo la afirmación número 99 de esta lista es verdadera. Dado que hay 100 afirmaciones y la enésima afirmación afirma que exactamente n afirmaciones de la lista son falsas, esto sólo puede ser cierto cuando n = 99.
Rompecabezas 7: Tú y tus amigos Arthur y Bob lleváis sombreros navideños rojos o verdes. Nadie puede ver su propio sombrero pero todos pueden ver los otros dos. Los sombreros de Arthur y Bob son rojos.
A todos os han dicho que al menos uno de los sombreros es rojo. Arthur dice: “No sé de qué color es mi sombrero”. Entonces Bob dice: “No sé de qué color es mi sombrero”. Suponiendo que tus amigos tengan una lógica impecable, ¿puedes deducir de qué color es tu gorro navideño?
Solución: Tu sombrero debe ser rojo. Si tu sombrero fuera verde, entonces tanto Arthur como Bob verían un sombrero verde y otro rojo. Entonces, cuando Arthur dice que no sabe el color de su sombrero, Bob pudo deducir inmediatamente que su sombrero era rojo. Pero como Bob no sabe el color de su sombrero, Bob debe estar viendo dos sombreros rojos, por lo que puedes deducir que el tuyo es rojo.
Rompecabezas 8: Hay tres cajas debajo de tu árbol de Navidad. Uno contiene dos pequeños regalos, otro contiene dos trozos de carbón y el otro contiene un pequeño regalo y un trozo de carbón. Cada caja tiene una etiqueta que muestra lo que hay dentro, pero las etiquetas se han mezclado, por lo que actualmente cada caja tiene la etiqueta incorrecta.
Te dicen que puedes meter la mano y sacar un objeto de una sola caja. ¿Qué caja deberías elegir para luego poder cambiar las etiquetas para que cada etiqueta corresponda correctamente al contenido de su caja?
Solución: Dado que todas las cajas tienen etiquetas incorrectas, sabes que si abres la caja que actualmente está etiquetada como que contiene un regalo pequeño y un trozo de carbón, verás dos regalos pequeños o dos trozos de carbón.
Supongamos que lo abres y ves dos pequeños regalos. Luego hay que fijar en esta caja la etiqueta de dos pequeños obsequios. Y como también sabes que originalmente cada caja tenía la etiqueta incorrecta, la etiqueta de un pequeño regalo y un trozo de carbón debería ir en la caja que actualmente tiene la etiqueta de dos trozos de carbón. Finalmente, la etiqueta de los dos trozos de carbón pertenece a la caja originalmente etiquetada como dos pequeños obsequios.
Rompecabezas 9: Hay una botella de un litro de jugo de naranja y una botella de un litro de jugo de manzana en la cocina. Jack pone una cucharada de jugo de naranja en la botella de jugo de manzana y luego la revuelve para que se mezcle uniformemente. Ahora Jill toma una cucharada de líquido de esa botella de jugo de manzana y la vuelve a poner en la botella de jugo de naranja. ¿Hay ahora más jugo de naranja en la botella de jugo de manzana o más jugo de manzana en la botella de jugo de naranja?
Solución: Son iguales. Este es un buen ejemplo de “invariancia”, un término que aparece mucho en matemáticas.
Después de agregar todas las cucharadas de jugo y mezclar, la cantidad de jugo de naranja en la botella de jugo de manzana debe haber reemplazado la misma cantidad de jugo de manzana que había originalmente en la botella de jugo de manzana, porque la cantidad de líquido en cada botella sigue siendo de un litro (han permanecido invariantes).
Esta explicación puede parecer insatisfactoria la primera vez que la lees. Pero explotar el poder de la invariancia permite deducir que las cantidades deben ser las mismas, sin ningún cálculo.
Rompecabezas 10: En la ciudad natal de Papá Noel, todos los billetes llevan imágenes de Papá Noel o de la Señora Claus en un lado y imágenes de un regalo o un reno en el otro. Un joven elfo coloca cuatro notas sobre una mesa que muestran las siguientes imágenes en este orden:
Papá Noel | Señora Claus | Presente | Reno
Ahora un elfo mayor y más sabio le dice: “Si Papá Noel está en un lado del billete, en el otro debe haber un regalo”. ¿Qué notas debe leer el elfo joven para confirmar que lo que dice el elfo mayor es cierto?
Solución: Primero, el joven elfo debe darle la vuelta al billete con Papá Noel. Si no hay ningún regalo al otro lado, entonces el elfo mayor está mintiendo. A continuación, el joven elfo debe darle la vuelta al billete de reno para confirmar que Santa no está del otro lado. Nuevamente, si Santa estuviera del otro lado, el elfo mayor estaría mintiendo.
Podría resultar tentador dar la vuelta al billete actual. Pero el elfo mayor sólo dice “si Santa, entonces presente”, lo que no implica “si está presente, entonces Santa”. Por lo tanto, no importa si en el otro lado del billete actual está Papá Noel o la Señora Claus, y tampoco importa qué hay en el otro lado del billete de la Señora Claus, porque el elfo mayor no dice nada sobre esos billetes.
Solución de rompecabezas adicional
Santa viaja en su trineo desde Groenlandia hasta el Polo Norte a una velocidad de 30 millas por hora, luego regresa inmediatamente del Polo Norte a Groenlandia a una velocidad de 40 millas por hora. ¿Cuál es la velocidad promedio de todo el viaje de Santa?
Solución: Este acertijo es quizás un ejemplo de lo que el psicólogo Daniel Kahneman llamó Pensar rápido y despacio. Nuestro sistema de pensamiento rápido podría decir “simplemente tome el promedio”, por lo que adivinaríamos 35 millas por hora. Una respuesta razonable, pero incorrecta.
Nuestro sistema de pensamiento más lento, que requiere esfuerzo y requiere herramientas como el álgebra y el pensamiento crítico, es necesario aquí. Primero, configuremos algunas variables:
– sea d la distancia de Groenlandia al Polo Norte.
– sea t₁ el tiempo empleado en el viaje de ida.
– sea t₂ el tiempo necesario para el viaje de regreso.
Usando la ecuación estándar “velocidad = distancia dividida por tiempo”, podemos decir:
30 = d/t₁ y 40 = d/t₂
Reordenando estas ecuaciones, también sabemos que t₁ = d/30 y t₂ = d/40
Dado que Santa recorre la misma distancia de ida y vuelta, la distancia total recorrida es 2d. Y la velocidad media del viaje total es esta distancia total dividida por el tiempo total empleado: 2d/(t₁ + t₂)
Usando todo lo anterior, podemos decir que la velocidad promedio del viaje de Santa es 2d/(d/30 + d/40)
Ahora, (d/30 + d/40) = (4d/120 + 3d/120) = 7d/120
Entonces la velocidad promedio de Santa = 2d / (7d/120) = 240/7 = 34,3
En esta ecuación, las ‘d’s se cancelan. Esto significa que podemos calcular la velocidad promedio del viaje sin saber ni la distancia ni el tiempo que le tomó a Santa hacer su viaje. Este es el poder del álgebra: te permite usar y manipular cantidades, usándolas como marcadores de posición incluso cuando no sabes cuáles son.
La respuesta es que Santa viajó a una velocidad promedio de 34,3 millas por hora.
Neil Saunders, profesor titular de Matemáticas, Departamento de Ciencias Matemáticas, City St George’s, Universidad de Londres
Este artículo se vuelve a publicar desde The Conversation bajo una licencia Creative Commons. Lea el artículo original.