En la década de 1930, Werner Burau, un matemático alemán, presentó un retorcido misterio geométrico que perduraría durante casi un siglo.
Anteriormente, los matemáticos habían demostrado que los nudos podían reformularse en algo más identificable: trenzas. Una “trenza” comienza con una colección de hebras. Para hacer la trenza, uno cuelga los hilos verticalmente y los teje hacia abajo como quiera. Cualquier tipo de nudo, por complicado que sea, se puede traducir en una trenza.
Como parte de su investigación, Burau tradujo claramente las estructuras trenzadas en objetos algebraicos, haciéndolos mucho más fáciles de manipular matemáticamente. Los objetos, llamados matrices, son cuadrículas de números que funcionan de manera muy similar a una hoja de cálculo. Pero a los matemáticos de la época les preocupaba que su elegante traducción estuviera perdiendo información. ¿Algunas de estas matrices representaban más de una trenza? De ser así, fueron tachados de “infieles”. El problema era determinar cuál de sus representaciones de trenzas, si es que había alguna, era infiel.
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La matemática de la Universidad de Columbia Joan Birman ayudó a popularizar la pregunta hace unos 60 años. Y en 2026, casi un siglo después de que se propusiera por primera vez la representación de Burau, Birman, que ahora tiene 99 años, cerró el caso con la ayuda de dos colaboradores, la matemática de la Universidad de Glasgow Tara Brendle y el matemático de la Universidad de Princeton Vasudha Bharathram. Se sabe desde hace mucho tiempo que, para las tres primeras hebras de una trenza, las matrices son siempre fieles, lo que significa que existe una relación uno a uno entre ellas. También se sabía que, con cinco o más hebras, todas las matrices se vuelven infieles. Pero en un nuevo giro de la trama, los matemáticos mostraron cómo la trenza de cuatro hilos complica la relación, pero al final sus matrices siguen siendo fieles.
“Es bastante loco”, dice Yang-Hui He, matemático del Instituto de Ciencias Matemáticas de Londres, que ha trabajado en el problema. “Es una de las historias más interesantes de los últimos años, no sólo porque existe esta prueba sino porque mucha gente ha trabajado en ella durante los últimos 70 años. Es uno de los mayores avances en el campo de la teoría de grupos y nudos”.
Cuando era niña, Birmania compartía un interés con su abuela: tejer. No fue hasta que llegó a la escuela de posgrado que descubrió el hermoso lado matemático de su pasatiempo. Aunque dice que cualquiera de las implicaciones de su trabajo matemático para la afición es exagerada (Bharathram señala el mayor obstáculo que supone traducir un suéter en una matriz), el tema se convirtió en la obsesión de toda la vida de Birman.
En la década de 1970, Birman escribió un libro fundamental para matemáticos, Braids, Links, and Mapping Class Groups. En él, demostró que la representación de Burau para el grupo de cuatro hilos podría transformarse en una búsqueda de relaciones entre matrices especiales de tres por tres (3×3). El descubrimiento reabrió el caso sin resolver de Burau. “Las trenzas habían sido un remanso de topología”, dice Birman. “De repente las trenzas se volvieron muy populares”.
Una trenza de una sola hebra es trivialmente fiel. De manera similar, rápidamente se demostró que el caso de dos hebras, que representan un patrón repetitivo de cruces simples, era fiel. Casi al mismo tiempo que se publicó el libro de Birman, un par de matemáticos demostraron que el grupo de las tres hebras también era fiel. Pero dos décadas después, aguardaba una sorpresa. Una serie de artículos que utilizaron un enfoque geométrico iniciado por primera vez por el matemático John Moody, demostraron que todas las trenzas con cinco o más hebras eran totalmente infieles.
Eso dejó el caso de las trenzas de cuatro hilos como único obstáculo. Muchos investigadores estaban convencidos de que el grupo también debía ser infiel y buscaron la relación en el enfoque de Birman o en el método de Moody.
La carrera estaba en marcha.
“Conocí el problema”, dice, “por Emmanuel Breuillard y Sasha [Oleksandr] Kosyak”, dos conocidos matemáticos que han trabajado en el dilema durante más de 20 años. El grupo pasó seis meses inútiles tratando de activar varios chatbots de inteligencia artificial utilizando el enfoque de Birman. “Entonces, boom, un miércoles por la mañana, la propia Joan Birman con sus dos talentosos colaboradores, afirmaron que habían resuelto el problema”, dice. “Y lo habían hecho”.
En última instancia, el enfoque de la matriz 3×3 había sido una pista falsa. También lo fue el ángulo de la infidelidad de Moody. Bharathram pensó que tal vez la suposición de infidelidad era incorrecta, por lo que el grupo adaptó el método de Moody para intentar demostrar la fidelidad. Su corazonada puso al trío en el camino correcto.
Brendle ofreció una explicación de la demostración del grupo: toma una hoja de papel y dibuja un montón de puntos. Luego dibuja bucles alrededor de algunos de esos puntos. Los puntos corresponden a hebras, mientras que los bucles capturan todas las interacciones posibles de esas hebras. Los discos, que se definen como el interior de los bucles, le indican cómo calcular las matrices de Burau. “Cuantos más puntos tengas, más bucles diferentes podrás dibujar”, dice Brendle. “Puedes preguntar qué tipos diferentes de discos puedes conseguir”.
El trío descubrió que a medida que aumentaban las variaciones del disco, se debilitaba la capacidad de aislar una matriz única. “Los discos que se ven muy diferentes terminan teniendo un efecto similar en las matrices”, dice Bharathram, “lo que significa que la información se pierde en la traducción de las trenzas a las matrices”.
El método demostró ser eficaz para comprobar la fidelidad de todas las trenzas posibles. Para las trenzas de tres hilos, las posibilidades eran tan limitadas que las matrices no tenían más opción que la fidelidad. Las trenzas de cuatro hilos presentaron algunos escenarios desagradables, pero el trío pudo manejarlos. Sin embargo, cuando las trenzas tenían cinco o más hebras, proliferaban las posibilidades de los discos, garantizando que todas las matrices fueran infieles. Así como el agua sufre una transición de fase antes de congelarse, dice Brendle, la caja de cuatro hilos representa un importante punto de inflamación para las trenzas.
“Estoy muy sorprendido de que haya recibido tanta atención”, dice Birman. “Hubo muchas personas que intentaron demostrar esto y simplemente no funcionó porque buscaban un contraejemplo de la fidelidad”.
Bharathram, Birman y Brendle, dispersos en diferentes ciudades y continentes, no celebraron después de terminar su prueba. Aunque las trenzas se abren camino en muchas áreas diferentes de la ciencia, desde el plegamiento de proteínas hasta la teoría de cuerdas, el simple hecho de resolver el caso centenario fue una recompensa suficiente para el trío. “Es intrínsecamente interesante”, dice Bharathram.