Los números irracionales como pi o la raíz cuadrada de 2 siempre han fascinado a la humanidad. Después de todo, simbolizan el infinito mejor que cualquier otra cosa: su secuencia de dígitos después del punto decimal se extiende infinitamente sin repetirse nunca regularmente. Lo más sorprendente de esto es que estos números aparecen en los contextos más simples, como cuando se calcula la circunferencia de un círculo o la diagonal de un cuadrado.
Durante miles de años, los estudiosos han investigado las peculiaridades de los números irracionales. Y, sin embargo, aún hoy estamos lejos de haber desvelado sus secretos. Por el contrario, parece que incluso las propiedades más fundamentales de estos números siguen siendo desconocidas.
Podemos aproximar arbitrariamente cualquier número irracional usando fracciones de números enteros (números racionales). Por lo tanto, puedes acercarte cada vez más a un número como pi usando fracciones. Cuanto mayores sean los denominadores de las fracciones utilizadas, menor será la diferencia con el número irracional.
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Hace más de un milenio, Diofanto de Alejandría, un antiguo matemático griego, estaba interesado en esta idea. Se preguntó si podría encontrar la fracción más pequeña posible que aún difiera lo menos posible del número irracional. Esta pregunta aparentemente inofensiva continúa dando forma a la investigación matemática hasta el día de hoy.
¿Qué tan irracional es un número irracional?
Resulta que no todos los números irracionales se pueden aproximar igualmente bien mediante fracciones. Algunos requieren fracciones relativamente simples para representar con precisión muchos lugares decimales, mientras que otros requieren denominadores muy grandes. Por ejemplo, la proporción áurea, escrita como (a continuación) es particularmente difícil de abordar como una fracción y, por lo tanto, se describe como el “más irracional” de todos los números.
El matemático alemán Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet abordó la pregunta de Diofanto en el siglo XIX. Consideró el valor obtenido al restar la fracción p⁄q de un número irracional α y pudo demostrar que su diferencia es como máximo 1⁄q^2.
Entonces, ¿qué significa eso realmente? Por cada número irracional α, hay infinitas fracciones p⁄q. Esto también significa que la precisión con la que se puede aproximar un número irracional mediante una fracción aumenta con el cuadrado del denominador, q: cuanto mayor sea el denominador de una fracción adecuadamente elegida, con mayor precisión se podrá determinar el valor de un número irracional. Entonces, el objetivo de los expertos es intentar crear un denominador más grande para mejorar la capacidad de la fracción para aproximarse a un número irracional.
Muchos matemáticos han aceptado ese desafío. Comenzaron con la desigualdad de Dirichlet:
Y nuevamente, querían centrarse en aumentar el denominador en la parte derecha de la ecuación para mejorar la aproximación. Por tanto, los matemáticos comprobaron si la fracción del lado derecho de la ecuación podía sustituirse por otra que implicara una constante matemática en el denominador.
En 1891, el matemático Adolf Hurwitz encontró un candidato fuerte:
Es decir, por cada número irracional α hay infinitas fracciones p⁄q que satisfacen la desigualdad anterior. Sin embargo, el enfoque de Hurwitz tenía un límite. Si α correspondiera a la proporción áurea, entonces la ecuación funciona, pero sólo si la constante involucrada está dentro de un cierto tamaño.
Eso significaba que si los matemáticos querían obtener una fracción aún mejor para aproximarse a su número irracional, tenían un problema.
Los números de Lagrange como medida de irracionalidad
A finales del siglo XIX, el matemático Andrey Markov dio otro paso a este desafío al omitir la proporción áurea y centrarse en los valores irracionales restantes. ¿Podría refinarse aún más el denominador para acercarnos aún más a nuestro objetivo irracional?
La respuesta fue sí. Aparte de los números relacionados con la proporción áurea, se pueden derivar infinitas fracciones para todos los demás números irracionales p⁄q para satisfacer la siguiente desigualdad:
Pero, curiosamente, este enfoque también afecta a una restricción con un número irracional particular, en este caso √2. Al igual que la proporción áurea para la desigualdad anterior, establecer α igual a √2 evita un mejor resultado de aproximación.
Entonces Markov también excluyó el problemático √2, lo que permitió mejorar aún más la desigualdad hasta:
Una vez más, un molesto número irracional limitó un mayor refinamiento, lo que llevó a Markov a eliminarlo y derivar una nueva desigualdad. Resulta que ese proceso se puede repetir muchas, muchas veces.
Lo que surge de este ejercicio es una serie de constantes que aparecen en el denominador del lado derecho de esta desigualdad. Primero fue √5 del trabajo de Hurwitz y luego √2 del esfuerzo inicial de Markov, seguido de √221⁄5, y así sucesivamente.
Estas constantes forman una secuencia infinitamente larga llamada “números de Lagrange”, llamada así en honor al matemático Joseph-Louis Lagrange, que gradualmente se acerca al límite de 3, como demostró Markov en 1880. De hecho, para cualquier número irracional específico, se puede encontrar la mejor desigualdad posible para aproximar su valor y así identificar su número de Lagrange correspondiente.
En teoría de números, estos números de Lagrange se convierten en una indicación de cuán “irracional” es un número, es decir, qué tan bien se puede aproximar mediante fracciones. Cuanto más pequeño es el número de Lagrange, más “irracional” es el número.
Un patrón extraño
Pero la historia no termina ahí. El trabajo de Markov permitió una infinidad de números de Lagrange entre √5 y 3. Todos estos se refieren a una clase específica de números irracionales que se pueden calcular mediante una ecuación cuadrática.
Pero, como explorarían otros matemáticos, hay números irracionales con valores de Lagrange superiores a 3, que desconciertan a los investigadores hasta el día de hoy.
Si escribieras todos los valores de Lagrange, desde √5 hasta 3 y más, encontrarías algunos patrones curiosos. Inicialmente, los números de Lagrange son discretos: representan valores individuales como √5, 2√2 y √221⁄5. Hay infinitos números de Lagrange en el rango, pero no son consecutivos. Sin embargo, a partir del número 3, el espectro de Lagrange se vuelve considerablemente más diverso. Los números forman lo que se llama una estructura fractal que consta de infinitos segmentos continuos separados por espacios. Esto se puede visualizar como una especie de código de barras, con algunas franjas estrechas y otras franjas continuas más gruesas una tras otra. Si bien se conoce el comportamiento general de los números de Lagrange en este rango, algunos detalles aún no están claros, como qué espacios no contienen números de Lagrange en absoluto.
Pero esta estructura fractal no continúa indefinidamente; termina en un punto conocido como constante de Freiman, F:
En 1968, el fallecido Gregory Abelevich Freiman demostró que todo número real mayor o igual a F corresponde a un número de Lagrange. Por tanto, forman un límite único para aproximar un número irracional.
Todo esto plantea muchas preguntas a los matemáticos. ¿Por qué el espectro de Lagrange consta de tres secciones completamente diferentes: una sección de puntos individuales, una sección de segmentos fractales y una sección de una línea continua? ¿En qué se diferencian los números irracionales correspondientes?
Pero la constante de Freiman F también sorprende a muchos expertos: ¿de dónde viene este valor y qué lo define? A diferencia de muchas otras constantes matemáticas como pi o el número e de Euler, la constante de Freiman no ha aparecido hasta ahora en ningún otro contexto.
Además, no está claro qué número irracional corresponde a la variable de Lagrange. F. Freiman derivó su prueba utilizando complicadas consideraciones de teoría de números en lugar de cálculos concretos de la variable de Lagrange de los números irracionales.
Hemos progresado desde la época de Diofanto, pero todavía estamos lejos de haber comprendido la verdadera naturaleza de los números.
Este artículo apareció originalmente en Spektrum der Wissenschaft y fue reproducido con autorización. Fue traducido de la versión original alemana con la ayuda de inteligencia artificial y revisado por nuestros editores.