Lo ha vuelto a hacer: el matemático Levent Alpöge, de Anthropic, ha resuelto otro problema matemático abierto utilizando inteligencia artificial. Ya había abordado la conjetura jacobiana y había encontrado dos nuevas curvas elípticas. Ahora agreguemos a estos el problema de Hopf de 1947. Se pregunta si una esfera de seis dimensiones se puede describir completamente utilizando números complejos, que incluyen la (aparentemente imposible) raíz cuadrada de –1. Según Alpöge, la respuesta es sí, aunque el resultado aún no ha sido verificado.
Algunos objetos geométricos, como una esfera regular (una superficie bidimensional que vive en un espacio tridimensional), tienen una “estructura compleja”. Esto significa que existe una forma sencilla de asignar un número complejo diferente a cada punto de la esfera. La ventaja de esto es que hay muchas más herramientas matemáticas disponibles para números complejos que para los números “reales” habituales, lo que facilita algunos cálculos. La compleja estructura de la esfera ha tenido usos de gran alcance, como conectar ecuaciones feas y complicadas que viven en su superficie con ecuaciones polinómicas simples.
En un artículo de 1947, el matemático alemán Heinz Hopf planteó la pregunta: ¿Qué pasa con las esferas de dimensiones superiores? Demostró que no, las esferas de alta dimensión no tienen una estructura compleja. Pero no pudo probarlo en un caso: la esfera 6D.
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Desde entonces, numerosos expertos se han enfrentado a esta situación. Han propuesto evidencia tanto a favor como en contra de la hipótesis de que existe una estructura compleja para la superficie 6D de una esfera. Pero nadie ha logrado probar su caso.
Ahora la IA puede haber resuelto el problema. Alpöge utilizó una versión interna del modelo de lenguaje grande de Anthropic, Claude, para hacer lo que los humanos no podían. El 23 de agosto, Alpöge publicó un documento de más de 100 páginas con una supuesta prueba de que la esfera 6D, de hecho, tiene una estructura compleja. Como prueba, la IA aparentemente generó una estructura 3D compleja y demostró que representa exactamente la superficie 6D de una esfera.
Desafortunadamente, el documento completo era casi indescifrable: los LLM tienden a explicar sus pruebas de manera inútil, dedicando un tiempo excesivo a detalles menores mientras pasan por alto pasos importantes.
La matemática Ilka Agricola de la Universidad de Marburg en Alemania dice que esta falta de transparencia es típica de los anuncios de las empresas de tecnología: “No se sabe cuántas indicaciones se necesitaron para llegar al resultado, cuánto ajuste humano se requirió, etcétera”. Luego, añade, la comunidad matemática debe verificar la afirmación.
Y se pusieron manos a la obra. A los pocos días, habían reconstruido la prueba. “Parece haber un consenso emergente en que la construcción es plausible”, dice el matemático de la Universidad de Duke, Robert L. Bryant. El 27 de agosto, Philip Engel, de la Universidad de Illinois en Chicago, publicó una explicación más pedagógica del proceso del LLM en su sitio web. Casi al mismo tiempo, el investigador de OpenAI, Boris Alexeev, logró formalizar la prueba, verificando paso a paso su exactitud utilizando el lenguaje de programación Lean.
“Estos ejemplos de ‘nueva geometría’ se han vuelto muy raros y valiosos”, dice Engel. “Hay un nuevo objeto geométrico en el mundo que ahora conocemos y podemos explorar”.
Mientras tanto, Alpöge ha seguido explorando otros misterios matemáticos. En un trabajo separado con el matemático Tristan Buckmaster, logró avances significativos hacia el problema de Navier-Stokes, que fue noticia recientemente cuando OpenAI afirmó haber encontrado una solución.
Una versión anterior de este artículo apareció originalmente en Spektrum der Wissenschaft y se actualizó con permiso. Fue traducido de la versión original alemana con la ayuda de inteligencia artificial y revisado por nuestros editores.
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