En mayo pasado, los matemáticos se dirigieron a una sala cerca de la cima del edificio más alto del Instituto de Tecnología de California para prepararse para un sprint. El Instituto Americano de Matemáticas estaba solicitando preguntas de un tipo particular: preguntas maduras para aprovechar la capacidad única de la inteligencia artificial para examinar posibilidades a escala mayor que la humana. Rachel Pries, matemática de la Universidad Estatal de Colorado, subió al podio para presentar un candidato particularmente fuerte. “Este problema había estado abierto durante mucho, mucho tiempo”, dijo.
Su desafío se centró en las profundas conexiones entre ecuaciones polinómicas como 4×2 – 1 = 0 y las simetrías ocultas en sus soluciones. A los pocos meses de la conferencia, al entrelazar el conocimiento humano con la escala de la IA, el misterio de décadas de antigüedad colapsaría.
La sugerencia de Pries, conocida como el problema inverso de Galois, se inspiró en el trabajo del matemático francés del siglo XIX Évariste Galois, quien murió después de ser herido en un duelo con armas de fuego a los 20 años. Había estado estudiando patrones de simetrías que surgen en ecuaciones polinómicas con coeficientes racionales (números que se pueden escribir como fracciones, como 3 o 1⁄2). Los matemáticos saben desde hace mucho tiempo que algunas ecuaciones polinomiales sólo tienen soluciones racionales, mientras que otras tienen soluciones irracionales (como ). Pero el trabajo de Galois clasificó los polinomios de manera mucho más precisa. Al estudiar sus soluciones, aisló simetrías que eran peculiares de cada ecuación, definiendo lo que finalmente se conoció como “grupos de Galois”.
Sobre el apoyo al periodismo científico
Si está disfrutando de este artículo, considere apoyar nuestro periodismo galardonado suscribiéndose. Al comprar una suscripción, ayudas a garantizar el futuro de historias impactantes sobre los descubrimientos y las ideas que dan forma a nuestro mundo actual.
Considere la ecuación x2 + 1 = 0, que tiene soluciones imaginarias (llamadas raíces) de +i y –i, donde i = .
Imagínese colarse en una biblioteca de matemáticas y revisar todos los textos matemáticos jamás escritos. Secretamente reemplazas cada i con –i y cada –i con i. Al final, tu broma falla porque el intercambio es una simetría genuina, por lo que todas las ecuaciones de cada libro siguen siendo ciertas. Combine eso con la simetría de identidad de “no hacer nada” y tendrá los dos elementos del grupo Galois de x2 + 1.
Cuanto más complicado es un polinomio, más formas hay de mezclar sus raíces sin que nadie note la diferencia, lo que genera una riqueza de simetrías.
Para cualquier polinomio, los algoritmos conocidos descubren su grupo de Galois. Pero la dirección inversa es opaca: dado un grupo de simetrías de Galois particular, ¿siempre se puede encontrar un polinomio asociado? El dilema se conoció como el problema inverso de Galois.
La mayoría de los grupos Galois vienen en familias ordenadas. Mezcla tres raíces polinómicas y obtienes un grupo, mezcla cuatro y obtienes el siguiente grupo; y así sucesivamente subiendo una escalera. Pero 26 grupos diferentes se niegan a alinearse. Los grupos “esporádicos” no pertenecen a ninguna familia y no siguen ningún patrón, sin ninguna explicación sencilla de por qué existen. Los primeros cinco grupos esporádicos descubiertos fueron los grupos de Mathieu: M11, M12, M22, M23 y M24.
En la década de 1980, equipos de matemáticos de todo el mundo desenterraron los polinomios correspondientes a 25 de los 26 grupos esporádicos, pero no a M23. “Existe una última resistencia”, dice Bjorn Poonen, matemático del Instituto Tecnológico de Massachusetts. “Creo que algunas personas incluso se preguntaban si no habría ningún polinomio que dé M23”.
Una vez concluidas las conversaciones de Caltech, los organizadores pidieron a los participantes que pujaran por los problemas que querían atacar. El problema inverso de Galois rápidamente acumuló ofertas. Al final, seis participantes que nunca habían trabajado juntos pronto se convirtieron en parte de un equipo de ensueño matemático. A Pries y Poonen se unieron Xiaoyu Huang de la Universidad de Temple, Blake Jackson del Instituto de Razonamiento Asistido por Computadora en Matemáticas, Kyu-Hwan Lee de la Universidad de Connecticut y Shaowu Zhang, un Ph.D. estudiante en Caltech.
Y antes de que hubieran pasado tres meses, los misterios del M23 se desmoronaron.
“Podríamos hacerlo de manera muy eficiente”, dice Kyu-Hwan Lee. “Eso no era realmente posible hace cinco años”.
El equipo utilizó IA para revisar M23 en busca de combinaciones de simetrías. De los resultados, tomaron la colección más pequeña (un conjunto de siete superficies) y pidieron a la IA que aproximara numéricamente sus ecuaciones. ¿Quizás se podría fijar uno en números exactos? Pero los decimales no se resolvieron en nada reconocible. La IA siguió sugiriendo más precisión, pero cuando llegaron a los 90 dígitos, habían agotado la memoria de la computadora. El proyecto se detuvo. Zhang publicó una sospecha en el chat del equipo de que la culpa era de la elección de las coordenadas.*
El grupo designó una serie de agentes de IA para trabajar en coordenadas nuevas y más armoniosas. El grupo describió lo que sucedió después como “milagroso” en un artículo publicado en el servidor de preimpresión arXiv.org. Huang dice que la mayoría de los agentes fracasaron, pero uno regresó entusiasmado con una de las siete superficies. “¡Esto podría funcionar!” escribió el agente.
Con solo unos pocos pasos más, el grupo convirtió la aproximación de la superficie en una ecuación explícita y, en última instancia, en una familia de polinomios con grado 23 (lo que significa que la variable sube a x23 y hay 23 raíces para barajar). Aquí hay uno cuyas simetrías forman M23:
x23 – 184×21 – 1150×20 + 26151×19 + 18400×18 – 1808490×17 + 1545462×16 + 67672923×15 – 42732528×14 – 1333395744×13 + 290615166×12 + 10550424369×11 + 3700476348×10 + 35123826654×9 – 194398310718×8 – 1023887308293×7 + 3961650395556×6 + 1949980486716×5 – 28142323927002×4 + 53599151839311×3 – 46185312415788×2 + 19169943578802x – 3150159884154
La solución M23 es una pieza pequeña pero poderosa de un enorme rompecabezas. Los matemáticos sospechan que existe un grupo maestro, el “grupo absoluto de Galois”, que describe las simetrías de todos los polinomios posibles a la vez. Debido a que los grupos y polinomios aparecen en todas partes en la teoría de números, mapear este grupo que lo abarca todo es una de las mayores ambiciones del campo. Cada nuevo grupo que surge de un polinomio acerca a los matemáticos a la estructura absoluta del grupo de Galois.
En un desarrollo adyacente, se lanzó una competencia colaborativa, abierta tanto a aficionados como a matemáticos profesionales, con el objetivo de encontrar polinomios para cada grupo que actúa sobre 24 raíces; el grupo más grande es el grupo simétrico S24 que contiene todas las permutaciones. Si bien M23 había sido un misterio, los ejemplos de mapeo de S24 a polinomios ya eran abundantes, por lo que la competencia se trataba más bien de construir soluciones elegantes y desconocidas. Cada uno de estos patrones ilumina un fragmento de la estructura absoluta del grupo Galois. El anfitrión de la competencia, la Fundación para la Investigación de la Ciencia y la IA (SAIR), fue fundada por científicos de primer nivel, incluido el medallista Fields Terence Tao, un defensor del uso ético de la IA en matemáticas.
“Si eliges solo uno [polynomial] arbitrariamente”, dice Jen Paulhus, matemática del Mount Holyoke College y una de las organizadoras del concurso SAIR, “su [Galois group is] Probablemente será parte del gran grupo simétrico. Los grupos interesantes son los pequeños y rígidos, y las búsquedas aleatorias casi nunca llegan a ellos”.
Los participantes necesitarían una estrategia.
Pronto comenzaron a llegar presentaciones de todo el mundo, incluidos todos, desde teóricos de números de carrera hasta aficionados que tal vez tuvieron que investigar qué era un grupo de Galois, con trabajos impulsados por todo, desde inteligencia artificial hasta la obstinada capacidad intelectual humana. La primera fase del concurso concluyó a finales de agosto, con la realización de las 25.000 relaciones entre polinomios y grupos de simetría. “Me sorprendió un poco que obtuviéramos todos los grupos que buscábamos en la primera pasada”, dice Paulhus.
Los ganadores finales fueron un par de matemáticos alemanes. Y a pesar del uso generalizado de la IA como herramienta durante toda la competencia, su única contribución al equipo ganador fue escribir un guión de carga. “Estaba abierto a la IA y todavía eran estas personas las que hacían lo mejor”, dice Paulhus. “Como matemático en activo, eso me animó”.
*Nota del editor (22/9/26): Este párrafo fue editado después de su publicación para corregir la descripción de la publicación de Shaowu Zhang en el chat del equipo.