A los matemáticos les encanta recopilar preguntas elegantes y profundas que desafían la prueba: cuanto más se resistan, mejor. Y un día de junio, grupos de todo el mundo se reunieron para hacer precisamente eso. El objetivo era una nueva lista de 50 preguntas de alto riesgo con una advertencia importante: tenía que haber una manera de verificar automáticamente las soluciones a los problemas. Los talleres se llevaron a cabo en seis ciudades: Londres, Toronto, Los Ángeles, Nueva York, Berkeley, California y Cambridge, Mass.
Esa mañana, Yang-Hui He, matemático del Instituto de Ciencias Matemáticas de Londres, estaba acompañado por un invitado muy joven. Su hijo estaba de vacaciones escolares, así que lo llevó al taller. Los dos entraron a una sala llena de matemáticos que estaban bien provistos de almuerzo, refrigerios y café y se pusieron a trabajar. Bajo la atenta mirada de su hijo, que comía pasteles, colaboró con otros para presentar tres problemas que abarcaban campos que iban desde la teoría de nudos hasta el álgebra, la topología y la teoría de números. “Existe una gran cultura en matemáticas, que consiste en resolver conjeturas abiertas”, dice. “Muchas personas obtienen la Medalla Fields porque resuelven conjeturas abiertas. Esto es muy importante”.
El evento se realizó a pedido de Epoch AI, una organización que compara el progreso de los sistemas de inteligencia artificial. Greg Burnham, investigador principal de Epoch AI, dice que los problemas cubren un amplio espectro de temas. Últimamente, los modelos de IA de varias empresas han superado una gran parte de los mayores desafíos de las matemáticas. A principios de este mes, por ejemplo, OpenAI afirmó haber encontrado una solución al problema de Navier-Stokes, uno de los problemas más importantes del Premio del Milenio.
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A finales de septiembre se habían resuelto algunos de los problemas de la nueva lista, incluidos algunos importantes. La lista oficial sigue plagada de problemas sin resolver, aunque OpenAI anunció recientemente que su modelo interno de IA inédito ha resuelto más de 100 preguntas abiertas. “Mi conjetura es que probablemente contenga al menos algunos [of these]”, dice Burnham.
Éstos son algunos de los problemas críticos que identificaron los matemáticos.
La suma de tres cubos
Estado: Abierto A los matemáticos les gustaría encontrar soluciones enteras a ecuaciones polinómicas que contengan tres cubos diferentes. “Existe una fuerte sospecha de que existen soluciones enteras para la ecuación x3 + y3 + z3 = 114”, dice Burnham. “Pero se sospecha que las soluciones más pequeñas tienen algo así como 30 dígitos”.
En 2020, Andrew Booker de la Universidad de Bristol y Andrew Sutherland del Instituto de Tecnología de Massachusetts resolvieron el caso cuando la suma de x3 + y3 + z3 sume 42. Sus esfuerzos consumieron 1,3 millones de horas de computación, distribuidas entre las computadoras domésticas de los voluntarios. El siguiente total es 114. Burnham estimó que la misma estrategia para 114 costaría quizás 100 millones de dólares o más, lo que haría poco realista un enfoque tan contundente. Verificar la solución simplemente requiere evaluar la ecuación con los nuevos valores.
Prueba de irracionalidad al estilo Lo Apéry
Estado: Corren rumores de que esto se ha solucionado
Los números irracionales son decimales que no se pueden reescribir como una fracción de dos números enteros. Pi y √2 son ejemplos familiares. Aunque la idea es simple, demostrar que un número es irracional es notoriamente difícil: se necesitaron dos milenios para demostrar que pi era irracional.
En 1978, el excéntrico matemático francés Roger Apéry demostró que un número conocido como zeta(3) era irracional. Los números zeta se originan a partir de la famosa función zeta de Riemann, que describe patrones estadísticos intrigantes en la disposición de los números primos. El descubrimiento de Apéry ha dado forma a la teoría de números moderna.
La evaluación de la función zeta en 3 da la suma de la serie 1⁄n3: 13 + 1⁄23 + 1⁄33 + 1⁄43+ …. La idea de que esta serie debería sumar un número irracional podría ser una sorpresa, pero hace siglos Euler demostró que todos los valores pares de la función zeta están ligados a potencias de pi, lo que los vuelve irracionales. Esto llevó a los matemáticos a sospechar que los valores impares probablemente también eran irracionales.
Para encontrar la prueba de zeta(3), Apéry intercaló la función entre dos series infinitas que convergían a la velocidad justa para garantizar que zeta(3) fuera irracional. Los matemáticos estaban desconcertados: ¿cómo encontraron las dos series? Frustrado, Apéry respondió que los encontró en una maceta. El misterio de cómo los localizó sigue pendiente hoy. Si alguien puede reconstruir el razonamiento de Apéry, es posible que finalmente se demuestre que los extraños valores de zeta son irracionales.
“Ha estado circulando una solución creíble a la irracionalidad al estilo de Apéry (para uno de los números relevantes, el llamado zeta(5)”, dice Burnham.
La conjetura del corredor solitario
Estado: Abierto
Al igual que los dos problemas anteriores, la “conjetura del corredor solitario” parece simple pero tiene vínculos profundos con muchos campos. En una pista circular, coloca un grupo de corredores, todos los cuales corren a velocidades únicas y constantes. La conjetura del corredor solitario predice que, en algún momento, un corredor estará a una distancia máxima de todos los demás corredores: la fase más triste y solitaria de la carrera. Los matemáticos quieren rescatar a este corredor con un contraejemplo: algún número y combinación de velocidades que rompan el patrón. El problema persiste desde 1967.
La conjetura del nudo de Jones
Estado: Abierto
Toma un lazo de cuerda enredado. ¿Puedes decir si realmente está anudado o simplemente es un círculo disfrazado?
En 1984, el difunto matemático Vaughan Jones introdujo una nueva forma de asignar polinomios a nudos, enredando así los dos campos. Más tarde ganó una medalla Fields por el descubrimiento. Si dos nudos tienen polinomios de Jones diferentes, son nudos diferentes. Pero lo contrario no se cumple: diferentes nudos podrían estar vinculados al mismo polinomio. De hecho, los matemáticos ya saben que los nudos de dos o más eslabones tienen polinomios ambiguos. Pero ¿qué pasa con el nudo más simple, un círculo? En la teoría de nudos, un círculo se conoce como “desanudado” y tiene el polinomio de Jones trivial 1. Los matemáticos sospechan firmemente que existe un bucle genuinamente nudoso que también tiene un polinomio de Jones 1. Sólo se necesitaría un ejemplo para demostrar que los polinomios de Jones no pueden detectar de manera confiable si hay un nudo allí.
El núcleo de las elecciones de comités basadas en la aprobación
Estado: recientemente resuelto por humanos e IA
Imaginemos que una ciudad de 1.000 habitantes elige un consejo de 10 miembros. Cada ciudadano puede votar por tantos candidatos como quiera. ¿Qué haría que las elecciones fueran justas? Una respuesta natural es la representación proporcional de la población de la ciudad. Por ejemplo, un grupo de 300 personas debería terminar con el equivalente a tres escaños de influencia.
¿Cómo se puede saber si un votante en particular está bien representado? Cuente cuántos de los candidatos por los que votaron terminaron ganando escaños.
Supongamos ahora que el grupo de 300 propone su propia lista de tres personas. Tomemos como ejemplo a un residente que votó sólo por uno de los 10 ganadores, pero por dos de los tres candidatos de la lista. El consejo le asigna un solo representante. Pero la pizarra le daría dos. Si cada miembro del grupo termina con más candidatos en la lista que en el consejo, el grupo tiene una razón legítima para quejarse. Con sólo los tres escaños que se le deben al grupo, podría servir a cada uno de sus miembros mejor que todo el consejo.
Se dice que un consejo al que ningún grupo puede oponerse está en el “núcleo”, término tomado de la teoría de juegos. En un artículo preimpreso de 2016, un equipo de informáticos preguntó si cada elección tiene al menos un consejo en el núcleo.
Durante casi una década, el progreso fue lento. Certificar un consejo como justo significa compararlo con cada grupo posible de votantes y cada lista de candidatos que ese grupo pueda reclamar. A medida que crece el tamaño de las elecciones, el número de combinaciones de este tipo se dispara. Los investigadores sólo gestionaron casos más pequeños, por ejemplo, 15 candidatos en 2025.
El 10 de septiembre, tres investigadores con sede en Alemania, Francia e Inglaterra publicaron una preimpresión en arXiv.org que resolvió la cuestión: cada elección tiene un consejo justo y existe un método eficiente para encontrar uno. El método no necesita verificar a todos los grupos porque la prueba garantiza que el consejo que produce es justo. Los investigadores emplearon la IA como asistente, junto con su propia intuición matemática, y verificaron su resultado utilizando el asistente de prueba Lean.