El resultado más complicado hasta la fecha en el campo de la teoría de números parece engañosamente simple: es esencialmente una curva y una línea. Más técnicamente hablando, es una curva elíptica con un rango de al menos 31, lo que significa que es una curva matemática especial con al menos 31 puntos de partida independientes para patrones significativos. Cuanto mayor sea el rango, más complejo será el patrón, que determina cómo se distribuyen ciertos puntos a lo largo de esa curva.
Durante décadas, los matemáticos han estado persiguiendo curvas elípticas con patrones cada vez más complicados y han logrado avances muy lentos. Se necesitaron más de 18 años para pasar del puesto 28 al 29, por ejemplo. Pero ahora el matemático Levent Alpöge, que trabaja en la empresa de inteligencia artificial Anthropic, y la criptógrafa Ava Howell han utilizado el gran modelo de lenguaje Claude de Anthropic para presentar en tan solo unos días una curva elíptica con un rango de al menos 30 y otra con un rango de al menos 31.
Las curvas elípticas subyacentes de las ecuaciones parecen bastante simples: tienen la forma y2 = x3 + Ax + B. Y, sin embargo, han ocupado a los matemáticos durante milenios. De particular interés es la distribución de “puntos racionales” en las curvas, es decir, aquellos valores de xey que pueden expresarse como una fracción y satisfacer la ecuación.
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Las curvas elípticas de rango 0, por ejemplo, tienen sólo un número finito de puntos racionales. Las curvas de rango 1 tienen infinitas, pero los puntos siguen un patrón simple. Si conoces uno de ellos, puedes llegar a cualquier otro con sencillos trucos que implican reflejar, proyectar y conectar los puntos con líneas. Así, a partir de una única solución racional, se pueden construir todos los demás puntos racionales.
Los puntos de las curvas elípticas tienen una estructura notable: se pueden transformar unos en otros. Estas transformaciones forman un grupo.
Amanda Montañez
Para una curva elíptica de rango 2, hay dos familias independientes de puntos racionales: si conoces un punto racional de una familia, puedes construir todos los demás puntos de esa familia, pero no los puntos de la otra familia. Entonces necesitas dos puntos (uno de cada familia) para llegar a todos los demás puntos de la curva. De manera similar, las curvas elípticas de grado 3 tienen tres familias independientes, y así sucesivamente.
Una pregunta clave abierta en la teoría de números es si las curvas elípticas pueden tener grados infinitamente altos o si existe un límite. Los expertos buscan ejemplos de curvas elípticas con grados cada vez mayores. Más recientemente, después de una pausa de 18 años, en agosto de 2024 se descubrió una curva elíptica con un grado de al menos 29. Para construir esta curva, los expertos formaron una sección transversal de objetos de dimensiones superiores, cuyo límite corresponde a la curva elíptica.
Y ahora, apenas dos años después, un modelo de lenguaje de IA ha proporcionado dos ejemplos de curvas elípticas de un rango aún mayor. Alpöge y Howell, ambos con amplios conocimientos en el campo de la investigación de curvas elípticas, obtuvieron este resultado mediante una indicación relativamente sencilla. El modelo de lenguaje que utilizaron es una variante interna de Claude que no está disponible públicamente.
La noticia llega inmediatamente después del sorprendente anuncio de OpenAI la semana pasada de que su propio modelo había resuelto el problema de Navier-Stokes, uno de los siete Problemas del Premio del Milenio.
Este artículo apareció originalmente en Spektrum der Wissenschaft y fue reproducido con autorización. Fue traducido de la versión original alemana con la ayuda de inteligencia artificial y revisado por nuestros editores.
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