Primera consulta con x = 1. Esto le dará la suma de los coeficientes, que llamaremos S. Debido a que S es la suma de coeficientes no negativos, sabemos que ningún coeficiente excede a S. Para la segunda consulta, establezca x en la potencia más pequeña de 10 que sea mayor que S. Es decir, si S es un número de un dígito, entonces la segunda consulta será x = 10; si S es un número de dos dígitos, entonces la segunda consulta será x = 100; si S es un número de tres dígitos, entonces x = 1000, y así sucesivamente.
Por ejemplo, imagina que mi fórmula es 2×5 + x3 + 3×2 + 2. Cuando x = 1, esto produce S = 8. Esto proviene de 2 + 0 + 1 + 3 + 0 + 2 = 8, donde los ceros representan exponentes faltantes; no hay ningún término x4 ni término x, por lo que los coeficientes correspondientes son 0. Ahora, si consultamos con x = 10, el resultado es 201,302, proveniente de 200 000 + 0 + 1000 + 300 + 0 + 2. Este resultado simplemente enumera los seis coeficientes en orden, por lo que revela completamente la fórmula.
Sin embargo, establecer x = 10 puede generar ambigüedad si alguno de los coeficientes es 10 o mayor. Por ejemplo, si S = 27, entonces la segunda consulta sería x = 100 y el resultado enumerará los coeficientes en orden nuevamente, solo que esta vez cada coeficiente estará representado por dos dígitos del resultado en lugar de uno. Por ejemplo, reemplazando x = 100 a 21×5 + x3 + 3×2 + 2 da 210001030002.
Una solución alternativa ingeniosa es hacer la segunda consulta x = S + 1 y luego escribir el resultado en base S + 1. Averiguar por qué esto funciona es un ejercicio adicional.
Curiosamente, si tus consultas pueden ser cualquier número, entonces puedes, en principio, determinar completamente la fórmula con una sola consulta: x = π. Demostrar esto requiere matemáticas más avanzadas. El número π es trascendental, lo que, entre otras cosas, implica que si lo conectas a un polinomio con coeficientes de números enteros, siempre dará un resultado único. No hay ambigüedad como ocurre con muchos otros números.
El resultado de establecer x = π también limita el tamaño de los coeficientes y el tamaño de los exponentes en la fórmula. Por ejemplo, si consulta x = π y el resultado es 54,44225…, entonces sabe que todos los coeficientes están entre 0 y 55 (de lo contrario, el resultado habría sido mayor) y sabe que la fórmula no puede tener ningún exponente mayor que 3 porque, si lo tuviera, entonces contendría, como mínimo, un término π4, que equivale a 97,40909… De una consulta, aprende que el polinomio los coeficientes se encuentran entre 0 y 55, y sus exponentes se encuentran entre 0 y 3. Esto reduce la respuesta a una lista grande pero finita de posibilidades. En principio, podrías comprobar cada uno y encontrar cuál produce 54,44225… para determinar mi fórmula.