La versión original de esta historia apareció en Revista Quanta.
A veces los matemáticos intentan abordar un problema de frente y otras veces lo hacen de lado. Esto es especialmente cierto cuando hay mucho en juego en las matemáticas, como en el caso de la hipótesis de Riemann, cuya solución conlleva una recompensa de un millón de dólares del Instituto Clay de Matemáticas. Su prueba daría a los matemáticos una certeza mucho mayor sobre cómo se distribuyen los números primos, al tiempo que implicaría una serie de otras consecuencias, lo que la convierte posiblemente en la pregunta abierta más importante de las matemáticas.
Los matemáticos no tienen idea de cómo demostrar la hipótesis de Riemann, pero pueden obtener resultados útiles simplemente demostrando que el número de posibles excepciones es limitado. “En muchos casos, eso puede ser tan bueno como la propia hipótesis de Riemann”, dijo James Maynard de la Universidad de Oxford. “Podemos obtener resultados similares sobre los números primos a partir de esto”.
en un resultado innovador publicado en línea en mayo, Maynard y Larry Guth El Instituto Tecnológico de Massachusetts estableció un nuevo límite en el número de excepciones de un tipo particular, superando finalmente un récord que se había establecido más de 80 años antes. “Es un resultado sensacional”, dijo Henryk Iwaniec de la Universidad Rutgers. “Es muy, muy, muy difícil. Pero es una joya”.
La nueva prueba conduce automáticamente a mejores aproximaciones de cuántos números primos existen en intervalos cortos en la línea numérica, y puede ofrecer muchas otras perspectivas sobre cómo se comportan los números primos.
Un paso lateral cuidadoso
La hipótesis de Riemann es una afirmación sobre una fórmula central en la teoría de números llamada función zeta de Riemann. La función zeta (ζ) es una generalización de una suma simple:
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ⋯.
Esta serie se volverá arbitrariamente grande a medida que se le agreguen más y más términos (los matemáticos dicen que diverge). Pero si en cambio se sumara
1 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + 1/52 + ⋯ = 1 + 1/4 + 1/9+ 1/16 + 1/25 +⋯
obtendrías π2/6, o aproximadamente 1,64. La idea sorprendentemente poderosa de Riemann fue convertir una serie como ésta en una función, de la siguiente manera:
ζ(s) = 1 + 1/2s + 1/3s + 1/4s + 1/5s + ⋯.
Entonces ζ(1) es infinito, pero ζ(2) = π2/6.
Las cosas se ponen realmente interesantes cuando dejas que s ser un número complejo, que tiene dos partes: una parte “real”, que es un número cotidiano, y una parte “imaginaria”, que es un número cotidiano multiplicado por la raíz cuadrada de −1 (o icomo lo escriben los matemáticos). Los números complejos se pueden trazar en un plano, con la parte real en el X-eje y la parte imaginaria sobre el y-eje. Aquí, por ejemplo, es 3 + 4i.
Gráfica: Mark Belan para Quanta Magazine