Si tuviera que elegir unas cuantas palabras o símbolos para resumir su legado, ¿cuáles elegiría? Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) dejó una vitrina repleta de logros matemáticos entre los que elegir, pero sobre todo quería un “heptadecágono regular” grabado en su lápida. La forma altamente simétrica de 17 lados protagonizó una demostración que Gauss consideró una de sus mayores contribuciones a las matemáticas. Con tan solo 18 años, Gauss utilizó un heptadecágono para resolver un problema clásico que había Matemáticos perplejos durante más de 2.000 años. Un recorrido por esa historia revela profundas conexiones entre la antigua concepción de las formas como dibujos y una perspectiva moderna de la ecuaciones que los gobiernan.
Geometría griega antigua
El antiguos griegos Se destacó en geometría, poniendo especial énfasis en las construcciones creadas con un compás y reglaPiense en estas construcciones como diagramas con propiedades geométricas deseadas creadas únicamente con un utensilio de escritura y dos herramientas. Dados dos puntos, una brújula (que no debe confundirse con el dispositivo de navegación) dibuja un círculo centrado en cualquier punto que pasa por el otro punto. regla Dibuja líneas rectas entre los puntos. Ninguna de las herramientas tiene marcas, por lo que no pueden medir distancias ni ángulos.
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Los griegos no impusieron reglas arbitrarias solo para hacer que las matemáticas fueran más difíciles. El juego de construir formas con un compás y una regla se origina en el juego de Euclides. Elementos, Uno de los libros de texto más importantes jamás escritos. Al igual que los matemáticos modernos, Euclides Euclides se propuso derivar toda la geometría a partir de una lista mínima de supuestos llamados postulados. En lugar de simplemente afirmar la existencia de formas u otros objetos geométricos, quería construirlos explícitamente a partir de los ingredientes más simples: líneas y círculos.
Para tener una idea de estas construcciones, pruebe una usted mismo. Dado el segmento de línea de A a B A continuación, encuentre su punto medio. Calcular a ojo no será suficiente; su método debe encontrar el punto medio exacto.
Primero use el compás para dibujar un círculo centrado en A y pasando por B (primer panel). Luego repita este paso con el círculo centrado en B y pasando por A (segundo panel). Estos círculos se intersecan en dos puntos. Utilice la regla para conectar estos puntos (tercer panel). Por la simetría de nuestra construcción, esta línea vertical intersectará el segmento de línea original exactamente en su punto medio.
Esta construcción hace mucho más que dividir un segmento de línea en dos. Crea un ángulo recto entre las dos líneas, lo que no es una hazaña trivial con un conjunto de herramientas tan limitado. Y al conectar algunos puntos más, se puede formar un triángulo equilátero, cuyos lados tienen la misma longitud (y cuyos ángulos tienen la misma medida).
Observa que cada arista del triángulo es también el radio de uno de los círculos. Los círculos tienen el mismo tamaño y, por lo tanto, todos los lados del triángulo tienen la misma longitud. triángulos equiláteros Se pueden construir con compás y regla, QED. Felicitaciones por perseverar en el Primera proposición en el primer libro de Euclides ElementosSólo faltan 13 libros más.
Un obstáculo
De todas las formas que se pueden construir con compás y regla, polígonos regulares Tienen un carácter especial. Los polígonos son formas cerradas compuestas de bordes rectos, como triángulos y rectángulos (a diferencia de las formas curvas, como los círculos, o las formas abiertas, como la letra E). Regular Los polígonos son los que tienen más simetría, ya que todos sus lados tienen la misma longitud y todos sus ángulos tienen la misma medida (como los cuadrados y los triángulos equiláteros, pero a diferencia de los rectángulos y los rombos). Construir cualquier triángulo irregular con un compás y una regla es un juego de niños: basta con esparcir tres puntos en la página y conectarlos con líneas. Pero construir nuestro triángulo equilátero perfectamente simétrico (un polígono regular) requirió un trabajo de campo elegante.
Euclides descubrió cómo construir polígonos regulares con tres, cuatro y cinco lados, o triángulos equiláteros, cuadrados y pentágonos regulares, respectivamente. Sacó algunas generalizaciones más de estas construcciones básicas; por ejemplo, una vez que tienes un polígono regular en la página, una simple maniobra producirá un nuevo polígono regular con el doble de lados.
Puedes repetir este procedimiento de duplicación tantas veces como quieras. Esto significa que los polígonos regulares de tres, cuatro y cinco lados se pueden transformar en polígonos regulares de seis, ocho y diez lados, así como en polígonos regulares de 12, 16 y 20 lados, y así sucesivamente. Euclides también mostró cómo “multiplicar” los polígonos regulares de tres y cinco lados para producir un 15-gon regular.
El progreso se detuvo allí. De alguna manera Euclides sabía que un polígono regular de 3072 lados era construible en principio (un triángulo se duplicaba 10 veces), pero no tenía idea de cómo construir un heptágono regular de 7 lados (heptágono) o de 11 lados (hendecágono). Para ser claros, los polígonos regulares de cualquier número de lados mayor que dos existen y se pueden construir con herramientas más capaces. La pregunta que Euclides dejó atrás es cuáles son los que se pueden construir con un compás y una regla solamente. Esta pregunta permanecería sin respuesta durante dos milenios hasta que un adolescente alemán tomó un lápiz.
Las matemáticas del siglo XVIII al rescate
En 1796, ningún polígono regular nuevo se había sumado al panteón de formas construibles, pero los matemáticos habían adquirido una comprensión más profunda de las construcciones con regla y compás. Gauss sabía cómo reducir el problema de construir un polígono regular al de simplemente construir un segmento de línea con una longitud muy específica. Para ver cómo crear un 17-gono, comience con un círculo unitario (donde el radio es igual a uno) y un punto A en el círculo. Imaginemos que pudiéramos encontrar el punto rojo B arriba A exactamente un diecisieteavo del recorrido alrededor del círculo. Si pudiéramos construir el punto rojo a partir del punto azul, podríamos repetir esa construcción en todo el recorrido alrededor del círculo, conectar los puntos con nuestra regla y voilá, un heptadecágono regular. ¿Cómo dibujamos el punto B, punto dado A, ¿Pero? Observe que si pudiéramos dibujar el segmento de línea roja etiquetado incógnita, Luego podemos rastrearlo hasta el punto rojo. B, y ganamos. Todo el problema de construir un heptadecágono regular se reduce a construir un segmento de línea con la longitud precisa incógnitaPara los curiosos de las matemáticas, incógnita = coseno (2π ⁄17).
¿Puede un compás y una regla construir un segmento de línea de cualquier longitud? En la época de Gauss, los matemáticos conocían la sorprendente respuesta a esta pregunta. Una longitud es construible exactamente cuando se puede expresar con las operaciones de suma, resta, multiplicación, división o raíces cuadradas aplicadas a números enteros. Así, algunos números extraños como la raíz cuadrada de 99⁄5 son construibles (99 y 5 son números enteros, y les hemos aplicado división y raíz cuadrada), mientras que algunos números más familiares como pi (π) y la raíz cúbica de 2 no se puede construir porque uno nunca puede escribirlas solo en términos de estas cinco operaciones.
Sorprendentemente, las herramientas rudimentarias que utilizaban los antiguos griegos para dibujar sus diagramas geométricos coinciden perfectamente con las operaciones naturales del álgebra moderna: suma (+), resta (–), multiplicación (x), división (/) y extracción de raíces cuadradas (√). La razón se debe a que ecuaciones Para líneas y círculos se utilizan únicamente estas cinco operaciones, una perspectiva que Euclides no podría haber imaginado en la era del preálgebra.
Puede que le sorprenda saber que Gauss nunca dibujó un heptadecágono regular. No le hacía falta. Demostró que la forma es construible en principio expresando la longitud especial incógnita [cosine (2π ⁄17)] únicamente en términos de los cinco operaciones algebraicas que permiten el compás y la regla. Aunque su ecuación no te parezca especialmente esclarecedora, su complejidad demuestra ¿Cuánto trabajo? El adolescente debe haberse volcado en el problema:
Aún más impresionante, Gauss caracterizó completamente qué polígonos regulares son construibles y cuáles no (aunque no fue hasta 1837 que Pierre Wantzel proporcionó una prueba rigurosa de que la caracterización de Gauss no omitió nada). De modo que Gauss no sólo describió la forma que adoptan todos los polígonos regulares construibles, sino que él y Wantzel reivindicaron las frustraciones de Euclides al demostrar que el elusivo heptágono regular (siete lados) y el endecágono (11 lados) son imposible construir solo con compás y regla, junto con infinitas otras formas.
De acuerdo a biógrafo G. Waldo Dunnington, Gauss se sintió muy orgulloso de haber resuelto este problema milenario y le dijo a un amigo que quería que en su lápida apareciera un heptadecágono regular. Lamentablemente, esto no sucedió, pero un monumento en la ciudad natal de Gauss, Brunswick, Alemania, ostenta una estrella de 17 puntas grabada en la parte posterior. El albañil eligió una estrella porque creía que la gente no podía distinguir un heptadecágono de un círculo. Me pregunto si Euclides estaría de acuerdo.