Cuando se trata de los grandes problemas matemáticos del siglo XXI, los enigmas de los rompecabezas se han pasado injustamente por alto durante demasiado tiempo. Todo eso ahora cambia gracias al trabajo de Madeleine Bonsma-Fisher, científica de datos de la Universidad de Toronto, y Kent Bonsma-Fisher, físico cuántico, quienes han resuelto un problema que ha atormentado a los enigmas de todo el mundo.
La pregunta central de su esfuerzo es la siguiente: si tienes un rompecabezas de N piezas que, una vez ensambladas, ocupan un área igual a Aa, ¿cuánto espacio ocupan las piezas sin ensamblar? O en otras palabras, “¿qué tamaño de mesa necesitas para tu rompecabezas?”, que por coincidencia matemática es el título de su artículo sobre este tema. La respuesta, al menos en un aspecto, resulta bastante sorprendente.
Piezas de rompecabezas
Los Bonsma-Fishers comienzan calculando el área aproximada de una sola pieza del rompecabezas Ap, que, según señalan, es el área del rompecabezas ensamblado dividida por el número de piezas.
Entonces Ap = Aa/N. Y si esta forma es aproximadamente cuadrada, entonces cada lado tiene longitud √Ap = √(Aa/N)
Luego imaginan que, en su estado desmontado, las piezas están dispuestas aleatoriamente y así distribuidas como círculos con un diámetro igual a su dimensión más larga.
Este diámetro es:
d = √(2Ap) = √(2Aa/N)
Una forma en que los círculos pueden agruparse en un plano es en un patrón hexagonal en el que cada círculo está rodeado por otros 6. Los investigadores señalan que hay tres círculos completos dentro de un elemento hexagonal ya que cada uno de los seis círculos de borde contiene 1/3 del área de un círculo, más el que está en el centro. Eso significa que el área que ocupa un solo círculo cuando se empaqueta de esta manera es 1/3 del área del hexágono Ah.
Entonces, cuando hay N piezas, cada una de las cuales ocupa un área equivalente a Ah/3, derivan la siguiente fórmula:
fuente: arxiv.org/abs/2312.04588
En otras palabras, el área del rompecabezas sin ensamblar es el área del rompecabezas ensamblado multiplicado por √3 ≈ 1,73. Esto es sorprendente porque no depende de N, el número de piezas.
Así, antes del montaje, una sierra de calar cortada en 20 piezas ocupará el mismo espacio que la misma sierra de calar cortada en 1000 piezas. Los Bonsma-Fishers explican esto con el siguiente ejemplo.
“Con un pequeño número de piezas grandes, los espacios entre piezas son mayores (el espaciamiento de la red hexagonal es mayor), pero esta área se multiplica por un pequeño número de piezas. Por el contrario, para muchas piezas pequeñas, el espaciamiento de la red es menor pero hay más piezas”, afirman. “Cada elemento de la red se multiplica por N, pero hay un factor de 1/N en el área de cada elemento de la red; estos se cancelan, dando un resultado final independiente de N”.
Continúan probando esta idea midiendo el tamaño de varios rompecabezas en estado ensamblado y desensamblado. “Encontramos una estrecha concordancia entre las mediciones realistas y nuestra predicción teórica en una amplia gama de áreas del rompecabezas y números de piezas”, dicen.
Es un trabajo interesante que podría continuar a partir de aquí. Imaginemos el mismo problema en tres dimensiones, tal vez con bloques de Lego que deben ensamblarse para formar un modelo o aminoácidos que deben ensamblarse para formar una proteína.
La pregunta entonces es: ¿qué volumen de espacio se necesita para contener las piezas sin ensamblar antes de ensamblarlas?
Pregunta cuántica
Siguiendo el mismo enfoque, imaginemos que antes del ensamblaje, cada bloque de Lego o aminoácido se orienta aleatoriamente y, por lo tanto, juntos se agrupan como esferas. El diámetro de la esfera es igual a la diagonal del cubo que llenaría la pieza. Etcétera…. Dejaremos que el lector interesado calcule una respuesta o un rango de respuestas.
Esto puede resultar útil para cualquiera que transporte ladrillos Lego antes de ensamblarlos. Incluso puede ser útil para los biólogos que estudian los recursos necesarios para el ensamblaje de proteínas (aunque la búsqueda cuántica podría desempeñar un papel importante en el proceso de ensamblaje, lo que podría cambiar los resultados dado que los objetos cuánticos pueden compartir el mismo espacio).
Pero la mayor alegría seguramente vendrá de los fanáticos de los rompecabezas que ya no necesitan adivinar el tamaño de la mesa que necesitan para armar sus rompecabezas.
Ref: ¿Qué tamaño de mesa necesitas para tu rompecabezas? : arxiv.org/abs/2312.04588