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Mientras buscaba un regalo para el cumpleaños de un niño, un libro de matemáticas cayó en mis manos. Siempre me fascina cuando los autores escriben sobre temas científicos abstractos para niños, ya sea sobre las teorías de Albert Einstein, la vida de Marie Curie, la tecnología o los viajes espaciales. Pero este libro en particular era diferente. Se trata de números primos, específicamente de primos gemelos. El autor danés Jan Egesborg se ha esforzado por presentar a los niños uno de los problemas abiertos más difíciles de la teoría de números, que ni siquiera las mentes más brillantes han logrado resolver repetidamente durante los últimos 100 años: la conjetura de los primos gemelos.

Como suele ocurrir en matemáticas, la conjetura cae en la categoría de aquellas que son fáciles de entender pero endiabladamente difíciles de probar. Los primos gemelos son dos números primos que tienen una distancia de dos en la recta numérica; es decir, son directamente consecutivos si se ignoran los números pares. Los ejemplos incluyen 3 y 5, 5 y 7, y 17 y 19. Puedes encontrar muchos primos gemelos entre números pequeños, pero cuanto más avanzas en la recta numérica, más raros se vuelven.

Esto no sorprende, dado que los números primos son cada vez más raros entre los números grandes. Sin embargo, la gente sabe desde la antigüedad que existen infinitos números primos, y la conjetura de los números primos gemelos establece que también hay un número infinito de números primos gemelos. Eso significaría que no importa cuán grandes sean los valores considerados, siempre habrá números primos en sucesión directa entre los números impares.


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Es cierto que traducir estos conceptos a los niños no es fácil (por eso tengo tanto respeto por Egesborg y su libro infantil). Los números primos (2, 3, 5, 7, 11, 13,…) son como las partículas fundamentales de los números naturales. Sólo son divisibles por 1 y por sí mismos. Todos los demás números naturales se pueden descomponer en sus divisores primos, lo que convierte a los números primos en los componentes básicos del mundo matemático.

Una prueba de la antigüedad

Las matemáticas tienen un número ilimitado de componentes básicos de números primos. Euclides lo demostró hace más de 2.000 años con un sencillo experimento mental. Supongamos que hubiera sólo un número finito de números primos, siendo el mayor pag. En este caso, todos los números primos hasta pag podrían multiplicarse entre sí.

En este caso, podrías multiplicar todos los números primos hasta pag entre sí y sumar 1: 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x … x pag + 1. El resultado no se puede dividir por ninguno de los números primos existentes. Esto significa que el número 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x … x pag + 1 es primo o tiene un factor primo que no aparece en el original 2, 3,…, pag primos. Por tanto, ninguna lista finita de números primos puede estar jamás completa; siempre será posible construir otros adicionales. De ello se deduce que hay infinitos números primos.

Sin embargo, no se han resuelto todos los misterios sobre los números primos. Su distribución en la recta numérica, en particular, sigue siendo un misterio. Aunque sabemos que los números primos aparecen cada vez con menos frecuencia entre los números grandes, no es posible especificar exactamente cómo se distribuyen.

En principio, la distancia promedio entre un número primo y el siguiente es el valor ln(pag). Para el pequeño número pag = 19, esto corresponde a ln(19) ≈ 3. Para el número primo grande 2,147,483,647, la distancia es alrededor de 22. Para el valor enorme 531,137,992,816,767,098,689,588,206,552,468,627,329,593,117,727,03 1.923.199.444.138.200.403.559.860.852.242.739.162.502.265.229.285.668.889.329.486.246.501.015.346.579.337.652.707.239.409 ,519,978,766,587,351,943,831,270,835,393,219,031,728,127 (también un número primo), la distancia es alrededor de 420.

Como ilustran estos ejemplos, la distancia promedio entre los números primos aumenta con el tamaño de pag. Y este hecho hace que los números primos gemelos, que tienen la menor distancia posible entre ellos (aparte de 2 y 3), sean tan interesantes para los teóricos de los números. A medida que aumenta la distancia media entre números primos, podría ser que en cierto punto ya no haya gemelos. Sin embargo, la mayoría de los expertos piensan lo contrario. ¿Por qué, razonan, debería haber un cierto punto en la recta numérica a partir del cual no aparezcan de repente más primos gemelos? ¿Qué hace que este punto sea tan especial? Los teóricos de los números suponen que incluso si estos números primos gemelos se vuelven más raros, siempre encontrarás otro par.

Los cálculos informáticos realizados hasta la fecha parecen respaldar esta opinión. El par de números primos gemelos más grande encontrado hasta ahora es: 2.996.863.034.895 x 21.290.000 + 1 y 2.996.863.034.895 x 21.290.000 – 1, ambos números con 388.342 dígitos. Una búsqueda asistida por ordenador nunca podrá probar Sin embargo, existe un número infinito de primos gemelos. Se necesitan tácticas más fuertes.

Una sorpresa inesperada

Un matemático poco conocido dijo precisamente eso en 2013. Yitang Zhang había sido un nombre muy conocido entre muy pocos especialistas, pero luego publicó un artículo que golpeó el mundo de la teoría de números como una bomba. No pudo demostrar la conjetura de los números primos gemelos, pero demostró algo parecido, lo que supuso el mayor progreso que nadie había logrado desde que se formuló la conjetura de los primos gemelos en el siglo XIX.

Zhang demostró que hay un número infinito de pares de números primos del tipo (pag, pag + norte) con una distancia norte entre ellos eso es menos de 70 millones. La conjetura de los primos gemelos se habría demostrado si hubiera podido demostrar su resultado para norte = 2. En cambio, Zhang demostró que entre todos los pares de números primos con una distancia de menos de 70 millones, hay al menos un par (pag, pag + norte) que ocurre infinitamente a menudo.

Esta prueba fue un gran paso adelante porque los matemáticos no sólo están interesados ​​en los números primos gemelos sino también en otros tipos de pares de números primos, como aquellos con una distancia de cuatro (como 3 y 7 o 19 y 23), los así llamados pares de números primos. llamados primos primos, o aquellos que tienen una distancia de seis (como 5 y 11 o 11 y 17), los llamados primos sexys. En general, no está claro si existe un número infinito de cualquiera de estos pares.

Zhang logró este sorprendente resultado utilizando lo que los matemáticos llaman tamices de números primos. Estas construcciones pueden imaginarse como un tamiz real: se vierten todos los números naturales en él y se filtran todos los valores que no son números primos. Esta idea lleva el nombre del erudito y matemático griego Eratóstenes, aunque el primer registro escrito conocido de ella data de unos pocos siglos después de que él viviera. Se trata de una lista de números naturales en la que se eliminan todos los valores pares (excepto 2), luego todos los múltiplos de 3, múltiplos de 5, etc., de modo que al final solo queden los números primos.

Repasando uno a uno todos los números naturales y eliminando sus múltiplos (excepto el número en sí), solo quedarán los números primos.

Aunque la criba de Eratóstenes es exacta, resulta muy difícil de aplicar a problemas concretos desde un punto de vista matemático. Usar este método para demostrar afirmaciones generales sobre números primos parece imposible en la mayoría de los casos. Por lo tanto, Zhang recurrió a otro tamiz que sólo separa números con divisores primos grandes. Aunque este tamiz no es tan eficaz como otros, permite suficiente flexibilidad para realizar pruebas extensas. Zhang trabajó solo en la conjetura de los primos gemelos durante años; la teoría de números en realidad no era parte de su área de investigación.

Esta persistencia dio sus frutos: Zhang demostró que existe al menos un tipo de par de números primos con una distancia de menos de 70 millones que ocurre con una frecuencia infinita. Y el siguiente avance no se hizo esperar.

Los teóricos de los números de todo el mundo se abalanzaron sobre el resultado de Zhang y trataron de mejorarlo. Se puso en marcha un proyecto conjunto al que se unieron numerosos expertos. Al optimizar el método de Zhang, pudieron reducir la distancia máxima norte entre los pares de números primos para acercarse lo más posible a 2. Dentro de unos meses, demostraron que existe al menos un tipo de par de números primos con una distancia máxima de 4.680 que ocurre infinitamente con frecuencia. Casi al mismo tiempo, dos medallistas Fields, Terence Tao y James Maynard, desarrolló de forma independiente un tamiz modificado eso les permitió reducir el resultado a 246, un récord ininterrumpido hasta la fecha.

En términos concretos, esto significa que si nos fijamos en todos los pares de números primos (pag, pag + norte) que tienen una distancia entre norte = 2 y norte = 246, entonces hay al menos uno de esos pares que ocurre infinitamente con frecuencia. Los métodos de tamizado no se pueden generalizar hasta el punto de reducir el resultado a norte = 2, sin embargo.

Aún así, los resultados marcan un progreso inesperado en un área que deja desconcertados a muchos expertos. maynard deja esto claro en un Numerófilo Vídeo de YouTube: “Esta es una de las cosas interesantes y frustrantes de los números primos: que a menudo está claro cuál debería ser la respuesta correcta… El juego siempre intenta descartar que haya alguna conspiración muy extraña entre los números primos que significa que se comportarían de una manera bastante diferente a como creemos que deberían comportarse”.

Por supuesto, Egesborg no pudo incluir todos estos detalles en su libro infantil sobre el tema. Sin embargo, logró escribir un libro que transmite algunos conceptos matemáticos de forma lúdica.

Compré el libro y se lo regalé al niño en cuestión el día de su cumpleaños… y. Más tarde, sus padres me dijeron que lo había disfrutado muchísimo. Sin embargo, como descubrí más tarde, esto se debía menos al contenido matemático que al hecho de que una rana se tira pedos ruidosamente en una de las primeras páginas.

Este artículo apareció originalmente en Spektrum der Wissenschaft y fue reproducido con autorización.