Explicación de la historia y popularidad de los diagramas de Venn fuera de las matemáticas

en su libro El universo matemático, El matemático William Dunham escribió sobre el legado homónimo de John Venn, el diagrama de Venn: «Nadie en la larga historia de las matemáticas se hizo más conocido por menos». Si bien es posible que los diagramas de Venn no hayan resuelto ninguna problemas abiertos de larga dataseguramente estos anillos entrelazados merecen más crédito. Su representación compacta de las relaciones grupales explica su atractivo duradero en las aulas, infografías y memes de internet.

No son simplemente ayudas visuales, los diagramas de Venn pueden ayudarnos a resolver problemas lógicos cotidianos y dan lugar a preguntas geométricas sorprendentes. ¿Alguna vez has visto un diagrama de venn ¿Con cuatro círculos superpuestos? No, porque es imposible. El propio Venn descubrió esto e ideó una solución inteligente, pero esto sólo generó acertijos geométricos más profundos que los matemáticos todavía estudian hoy.

Venn debutó con sus diagramas en 1880 como método para visualizar los avances contemporáneos en lógica. Luego encontraron aplicación en el ámbito estrechamente relacionado. rama de las matemáticas llamada teoría de conjuntosque se centra en colecciones de objetos. Los diagramas de Venn generalmente consisten en círculos superpuestos, cada uno de los cuales representa un conjunto de elementos (por ejemplo, cosas tiernas o espectáculos de Broadway). La región superpuesta entre dos círculos contiene elementos que pertenecen a ambos conjuntos (por ejemplo, “gatos”). Al igual que en el uso diagramas de dispersión en estadística o dibujar formas en geometría, vidente el problema de uno a menudo lo aclara.

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Imagina que estás planeando una cena y analizando las volubles preferencias de tus amigos. Si Wilma asiste, Fred también lo hará. Si Barney asiste, alguien más también lo hará. Barney no vendrá si Wilma viene, pero sí lo hará si ella no viene. Si Fred y Barney asisten, Wilma también lo hará. ¿A quién deberías esperar que aparezca? Es difícil resolver este problema cuando solo nos dan el texto. Un diagrama de Venn proporciona una forma sistemática de visualizarlo y resolverlo. Cada afirmación excluye algunos resultados posibles, que indicamos sombreando las regiones correspondientes del diagrama de Venn.

La mayoría de los diagramas de Venn que encuentras representan dos o tres círculos superpuestos, pero ¿qué pasa si tienes que considerar cuatro o más conjuntos?

¿Detectaste el problema? No hay ninguna región donde solo A y C se superpongan que no incluya también otra región, y lo mismo ocurre con B y D. Un diagrama de Venn adecuado representa cada combinación de intersecciones. Reajustar el diseño no ayudará. Cada dibujo de cuatro círculos sufre el mismo defecto.

Para ver por qué, comience con un solo círculo y observe que establece dos regiones: interior y exterior. Cuando agregamos un segundo conjunto de elementos (un nuevo círculo), duplicamos las posibilidades, por lo que necesitamos duplicar el número de regiones (primer conjunto, segundo conjunto, ambos conjuntos y ninguno). La única forma de hacer esto es hacer que el segundo círculo cruce al primero en dos puntos (tocar solo un punto daría como resultado solo tres regiones: primer conjunto, segundo conjunto o ninguno). Esta tendencia continúa, donde cada nuevo círculo debe duplicar el número de regiones si queremos representar todas las posibilidades lógicas. Pero el número de nuevas regiones no puede exceder el número de nuevas interseccionesy un nuevo círculo puede intersectar los círculos existentes en solo dos puntos cada uno. Esto funciona bien al agregar un tercer círculo porque necesitamos agregar cuatro regiones, y el nuevo círculo puede intersectar los dos círculos existentes en dos puntos cada uno para un total de cuatro nuevos puntos de intersección. Pero se descompone en un cuarto círculo, en el que necesitamos ocho nuevas regiones pero sólo podemos reunir seis nuevos puntos de intersección.

Por supuesto, no necesitamos limitarnos a círculos. Podríamos trazar fácilmente un bucle ondulado a través de un diagrama de tres círculos para que dibuje el número necesario de regiones, pero perderíamos la elegancia del diagrama. cuatro que se cruzan esferas También puede representar el número correcto de regiones, pero las imágenes tridimensionales son difíciles de analizar. John Venn conocía las deficiencias de los círculos, por lo que propuso elipses para representar cuatro conjuntos.

A diferencia de los círculos, dos elipses pueden cruzarse en cuatro agujas. Esto supera las limitaciones de los círculos, pero sólo temporalmente. Las elipses funcionan durante cuatro y cinco series antes de fallar de la misma manera que lo hicieron los círculos. A medida que crece el número de decorados, necesitamos cada vez más formas exóticas para representarlos.

Se podría argumentar razonablemente que más allá de cuatro conjuntos de elementos, los diagramas de Venn pierden su utilidad. La imagen de las cuatro elipses ya es bastante caótica. Quizás para conjuntos de más de cinco deberíamos abandonar las representaciones visuales. Pero la utilidad no anima tanto al matemático como la belleza y la curiosidad. Aunque los diagramas de Venn se aplicaron inicialmente a lógica y teoría de conjuntosel enigma de los cuatro círculos planteó una interesante cuestión de geometría. Esa semilla se ha convertido en una fascinante investigación sobre el geometría de los diagramas de Venn que continúa en la actualidad.

Venn y sus sucesores creían que las elipses no podían representar las 32 regiones necesarias para un diagrama de cinco conjuntos. Hasta 1975 el matemático Branko Grünbaum demostró con el ejemplo que estaban equivocados:

Observe también que el diagrama de Grünbaum muestra una agradable simetría rotacional. Al girarlo una quinta parte de una rotación completa, vuelve a caer sobre sí mismo, dejando la forma original sin cambios. Los diagramas de Venn típicos de dos y tres círculos comparten esta propiedad. Gire un diagrama de Venn de dos círculos 180 grados (o uno de tres círculos 120 grados) y se verá igual. Pero el diagrama de cuatro elipse no tiene simetría rotacional. ¿Se puede arreglar eso? ¿Qué tienen en común dos, tres y cinco que no tenga cuatro?

En 1960, un entonces estudiante de pregrado en Swarthmore College, David W. Henderson, respondió esta pregunta con un descubrimiento sorprendente (Stan Wagon y Peter Webb llenó algunos vacíos más adelante): Los diagramas de Venn rotacionalmente simétricos son posibles sólo cuando el número de conjuntos es un numero primo—un número divisible sólo por 1 y por sí mismo, como 2, 3 y 5, pero no 4. Henderson sólo demostró que es necesario un número primo de conjuntos, no que siempre se puede diseñar un diagrama de Venn simétrico para cada número primo. Así comenzó una competencia para encontrar ejemplos cada vez más grandes. Aquí hay un aspecto salvaje Diagrama de Venn de 11 series de Pedro Hamburguesa.

Matemáticos de la Universidad de Carolina del Sur resolvió la pregunta en 2004 al mostrar que existen diagramas de Venn rotacionalmente simétricos para cada número primo de conjuntos. Si cree que esto hizo que los matemáticos recogieran sus lápices y dejaran de lado el estudio de los diagramas de Venn, entonces no ha estado siguiendo la corriente. En cambio, la comunidad ha elevado sus estándares estéticos, buscando figuras con incluso propiedades más refinadas.

Nuestra cita inicial sostenía que los diagramas de Venn están sobrevalorados. Incluso aquellos que están de acuerdo deben admitir que tienen un atractivo curioso. Tome los conjuntos de temas interesantes en lógica, geometría y visualización, y encontrará diagramas de Venn en la intersección.