Cuando miras tu entorno circundante, puede parecer que estás viviendo en un avión plano. Después de todo, es por eso que puedes navegar por una nueva ciudad usando un mapa: un papel plano que representa todos los lugares a tu alrededor.
Esta es probablemente la razón por la cual algunas personas en el pasado creían que la tierra era plana. Pero la mayoría de la gente ahora sabe que está lejos de la verdad.
Vives en la superficie de una esfera gigante, como una bola de playa del tamaño de la Tierra con algunas protuberancias agregadas. La superficie de la esfera y el avión son dos espacios 2D posibles, lo que significa que puede caminar en dos direcciones: norte y sur o este y oeste.
¿En qué otros espacios posibles podrías estar viviendo? Es decir, ¿qué otros espacios a su alrededor son 2D? Por ejemplo, la superficie de una dona gigante es otro espacio 2D.
A través de un campo llamado topología geométrica, Los matemáticos como yo Estudie todos los espacios posibles en todas las dimensiones. Si intenta diseñar Redes de sensores seguras, datos de minas o usar origami para desplegar satélitesEs probable que el lenguaje y las ideas subyacentes sean el de la topología.
La forma del universo
Cuando miras alrededor del universo en el que vives, parece un espacio 3D, al igual que la superficie de la tierra parece un espacio 2D. Sin embargo, al igual que la Tierra, si mirara el universo en su conjunto, podría ser un espacio más complicado, como una versión 3D gigante de la superficie de la bola de playa 2D o algo aún más exótico que eso.
Si bien no necesita una topología para determinar que está viviendo en algo como una bola de playa gigante, saber que todos los espacios 2D posibles pueden ser útiles. Hace más de un siglo, los matemáticos descubrieron Todos los posibles espacios 2D y muchas de sus propiedades.
En las últimas décadas, los matemáticos han aprendido mucho sobre todos los posibles espacios 3D. Si bien no tenemos un entendimiento completo como lo hacemos para espacios 2D, lo hacemos Sabe mucho. Con este conocimiento, los físicos y los astrónomos pueden tratar de determinar qué La gente del espacio 3D realmente vive en.
Si bien la respuesta no se conoce por completo, hay muchos posibilidades intrigantes y sorprendentes. Las opciones se vuelven aún más complicadas si considera el tiempo como una dimensión.
Para ver cómo podría funcionar esto, tenga en cuenta que para describir la ubicación de algo en el espacio, digamos un cometa, necesita cuatro números: tres para describir su posición y uno para describir el tiempo en que está en esa posición. Estos cuatro números son los que conforman un espacio 4D.
Ahora, puede considerar qué espacios 4D son posibles y en cuáles de esos espacios vive.
Topología en dimensiones superiores
En este punto, puede parecer que no hay razón para considerar espacios que tienen dimensiones mayores que cuatro, ya que esa es la dimensión más alta imaginable que podría describir nuestro universo. Pero una rama de la física llamada teoría de cuerdas sugiere que el universo tiene muchas más dimensiones que cuatro.
También hay aplicaciones prácticas de pensar sobre espacios dimensionales más altos, como Planificación de movimiento del robot.
Supongamos que está tratando de comprender el movimiento de tres robots que se mueven alrededor de un piso de fábrica en un almacén. Puede poner una cuadrícula en el piso y describir la posición de cada robot por sus coordenadas X e Y en la cuadrícula.
Dado que cada uno de los tres robots requiere dos coordenadas, necesitará seis números para describir todas las posiciones posibles de los robots. Puede interpretar las posibles posiciones de los robots como un espacio 6D.
A medida que aumenta el número de robots, aumenta la dimensión del espacio. La factorización en otra información útil, como las ubicaciones de los obstáculos, hace que el espacio sea aún más complicado. Para estudiar este problema, debe estudiar espacios de alta dimensión.
Hay innumerables otros problemas científicos en los que aparecen espacios de alta dimensión, desde modelar el Moción de planetas y nave espacial a tratar de entender el “forma” de grandes conjuntos de datos.
Atado en nudos
Otro tipo de problema que estudian los topólogos es cómo un espacio puede sentarse dentro de otro.
Por ejemplo, si sostiene un bucle de cuerda anudado, entonces tenemos un espacio 1D (el bucle de cuerda) dentro de un espacio 3D (su habitación). Tales bucles se llaman nudos matemáticos.
El Estudio de nudos Primero surgió de la física, pero se ha convertido en un área central de la topología. Son esenciales para cómo los científicos entienden Espacios 3D y 4D y tener una estructura encantadora y sutil que los investigadores son todavía tratando de entender.
Además, los nudos tienen muchas aplicaciones, que van desde teoría de cuerdas en física a Recombinación de ADN en biología a quiralidad en química.
¿En qué forma vives?
La topología geométrica es un tema hermoso y complejo, y todavía hay innumerables preguntas emocionantes que responder sobre los espacios.
Por ejemplo, el Conjetura suave 4D Poinctaré pregunta cuál es el espacio 4D cerrado “más simple”, y el conjetura de rodajas Su objetivo es comprender cómo los nudos en los espacios 3D se relacionan con las superficies en espacios 4D.
La topología es actualmente útil en ciencia e ingeniería. Desentrañar más misterios de espacios en todas las dimensiones será invaluable para comprender el mundo en el que vivimos y resolver problemas del mundo real.
John EtnyreProfesor de Matemáticas, Instituto de Tecnología de Georgia
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