Por qué el cero es el número más importante de todas las matemáticas

¿Cuál es el número más importante de todas las matemáticas? Ok, esa es una pregunta bastante tonta: entre infinitas posibilidades, ¿cómo podrías elegir? Supongo que un gran bateador como 2 o 10 tiene más derecho a la corona que algo extraído al azar en los lejanos billones de billones, pero en realidad eso seguiría siendo bastante arbitrario. Sin embargo, voy a afirmar que existe un número muy importante: el cero. Déjame ver si puedo convencerte.

El ascenso de Zero a la cima del panteón matemático comienza, como el típico viaje de un héroe, con orígenes humildes. De hecho, cuando comenzó hace unos 5000 años, ni siquiera era un número. En aquel entonces, los antiguos babilonios utilizaban una escritura cuneiforme de líneas y cuñas para escribir números. Eran similares a las marcas de conteo, con la cantidad de un tipo de marca representando los números del 1 al 9, y otra marca para contar 10, 20, 30, 40 y 50.

Estas marcas te permiten contar hasta 59, entonces, ¿qué pasa cuando llegas a 60? Bueno, los babilonios simplemente comenzaron de nuevo, usando la misma marca para 1 que para 60. Este sistema numérico de base 60 era útil porque 60 es divisible por muchos otros números, lo que facilitaba los cálculos, razón por la cual todavía lo usamos hoy en día para decir la hora. Pero no poder distinguir entre 1 y 60 fue un gran inconveniente.

La solución, entonces, era cero, o al menos algo parecido. Los babilonios usaban dos cuñas en ángulo para indicar la ausencia de un número, lo que les permitía colocar otros números en el lugar correcto, tal como lo hacemos hoy.

Por ejemplo, en el sistema numérico moderno, 3601 significa tres mil, seis centenas, cero decenas y una unidad. Los babilonios escribirían esto como sesenta sesenta, cero decenas y uno unidades, pero sin su cero posicional, los símbolos para esto serían exactamente los mismos que uno sesenta y uno unidades. Sin embargo, es importante destacar que los babilonios en realidad no contaban las posiciones con un cero; era más bien una puntuación o un recordatorio para pasar al siguiente número.

Este tipo de marcador de posición cero se utilizó en otras culturas antiguas durante milenios, pero no en todas. Los romanos, en particular, no tenían cero porque los números romanos no son un sistema numérico posicional, con una X siempre representando 10 sin importar dónde esté. La siguiente evolución del cero no se produjo hasta el siglo III d. C., al menos según un manuscrito descubierto en lo que hoy es Pakistán. Contiene cientos de símbolos de puntos utilizados como ceros posicionales, y fue este símbolo el que finalmente evolucionó hasta convertirse en el 0 que conocemos hoy.

Aún así, la idea del cero como un número por derecho propio, no sólo como un marcador de posición, tendría que esperar unos siglos más. Aparece por primera vez en un texto llamado Brāhmasphuṭasiddhānta, escrito por el matemático indio Brahmagupta alrededor del año 628 d.C. Si bien muchas personas antes que él eran conscientes de que sucede algo extraño si intentas, por ejemplo, restar 3 a 2, esos cálculos tradicionalmente se descartaban como una tontería. Brahmagupta fue el primero en tomar en serio la idea y describió la aritmética tanto con números negativos como con cero. Su definición de cómo manipular el cero se acerca bastante a nuestro concepto moderno, con una excepción importante: ¿qué sucede cuando se divide por cero? Brahmagupta dijo 0/0 = 0, pero se equivocó respecto de cualquier otro número dividido por cero.

Una verdadera respuesta a la pregunta llevaría mil años más y daría lugar a una de las herramientas más poderosas del arsenal de los matemáticos: el cálculo. Desarrollado de forma independiente por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz en el siglo XVII, el cálculo implica la manipulación de números infinitesimales, aquellos que están lo más cerca posible de cero sin ser realmente cero. En esencia, los infinitesimales te permiten acercarte sigilosamente a la idea de dividir por cero sin llegar a alcanzarla, y esto resulta extraordinariamente útil.

Para descubrir por qué, demos un pequeño paseo. Supongamos que conducimos un automóvil cada vez más rápido y usted pone gradualmente el pie en el suelo para aumentar la aceleración. Podríamos describir la velocidad del coche con la ecuación v = t², donde t representa el tiempo. Entonces, después de 4 segundos, digamos, tu velocidad sería de 16 metros por segundo, comenzando desde 0. Pero, ¿qué distancia has viajado en ese tiempo?

Como la distancia es igual a la velocidad multiplicada por el tiempo, podríamos intentar multiplicar 16 por 4 para obtener 64 metros. Pero eso no puede ser correcto, porque sólo al final alcanzas tu velocidad máxima de 16 m/s. Tal vez podríamos dividir el viaje a la mitad, tomando la primera mitad como un viaje a 4 m/s durante 2 segundos, luego a 16 m/s durante 2 segundos. Eso nos da una distancia de 4 x 2 + 16 x 2 = 40 metros. Pero realmente esto es una sobreestimación, porque todavía confiamos en las velocidades máximas en estas dos mitades.

Para aumentar la precisión de nuestra estimación, necesitamos reducir nuestro período de tiempo para que solo multipliquemos la velocidad a la que viajamos en un punto particular por el tiempo que realmente pasamos en ese punto, y aquí es donde llegamos a cero. Si traza v = t² en un gráfico y superpone nuestras estimaciones anteriores, verá que la primera no coincide del todo y que la segunda estimación se ajusta más. Para obtener la medición más precisa, necesitaríamos dividir el viaje en períodos de tiempo de cero segundos de duración y luego sumarlos. Pero eso implicaría dividir por cero, lo cual es imposible, o al menos lo era hasta la invención del cálculo.

A Newton y Leibniz se les ocurrieron trucos que le permitían acercarse a dividir por cero sin hacerlo, y aunque una explicación completa del cálculo está más allá del alcance de este artículo (¡pruebe un curso en línea si está interesado!), sus métodos revelan la respuesta real, que es la integral de t², o t³/3. Esto nos da una distancia de 21 y 1/3 metros. Esto también se conoce comúnmente como el área bajo la curva, lo cual se vuelve más obvio cuando lo ves graficado así:

El cálculo se usa para mucho más que calcular la distancia recorrida por un automóvil; de hecho, lo usamos para prácticamente cualquier cosa que implique comprender cantidades cambiantes, desde la física hasta la química y la economía. Nada de esto sería posible sin el cero y sin la comprensión de cómo ejercer su asombroso poder.

Sin embargo, para mí, el verdadero reclamo de fama del cero surge a finales del siglo XIX y principios del XX, durante un período en el que las matemáticas se vieron sumidas en una crisis existencial. Los matemáticos y lógicos que husmeaban en los fundamentos de su materia descubrían cada vez más algunos agujeros peligrosos. Como parte de sus esfuerzos por consolidar las cosas, comenzaron a definir rigurosamente objetos matemáticos que antes se habían considerado tan obvios que no necesitaban una definición formal, incluidos los propios números.

¿Qué es exactamente un número? No puede ser una palabra, como tres, o un símbolo, como 3, porque éstas son sólo etiquetas arbitrarias que le damos al concepto de tricidad. Podemos señalar una colección de objetos, como una manzana, una pera y un plátano y decir “hay tres piezas de fruta en este cuenco”, pero eso todavía no llega a su naturaleza fundamental. Lo que necesitamos es algo que podamos contar en abstracto y poner en una colección que podamos llamar “tres”. Las matemáticas modernas hacen precisamente eso: con cero.

En lugar de una colección, los matemáticos hablan de conjuntos, por lo que el ejemplo de la fruta sería {manzana, pera, plátano}, con las llaves indicando un conjunto. La teoría de conjuntos es la base de los fundamentos modernos de las matemáticas; Se puede considerarlo casi como el “código informático” de las matemáticas, en el que, en última instancia, todos los objetos matemáticos deben describirse en relación con conjuntos, para garantizar una coherencia lógica y evitar algunos de los agujeros fundamentales que los matemáticos habían descubierto.

Para definir los números, los matemáticos comienzan con el “conjunto vacío”, el conjunto que contiene cero objetos. Esto se puede anotar como {} pero es más útil escribirlo ∅, por razones que resultarán evidentes. Una vez que tenemos el conjunto vacío, podemos definir el resto de números. El concepto de unidad es un conjunto que contiene un objeto, así que coloquemos el conjunto vacío allí: {{}}, o {∅}, que es más agradable a la vista. El siguiente número, dos, necesita dos objetos. El primero puede ser el conjunto vacío, pero ¿qué pasa con el segundo? Bueno, ya hemos creado otro objeto al definir uno, el conjunto que contiene el conjunto vacío, así que usémoslo. Eso hace que nuestro conjunto que define dos parezca {∅, {∅}}. Entonces tres es {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, y puedes continuar haciendo esto todo el tiempo que quieras.

En otras palabras, el cero no es sólo el número más importante; en cierto modo, es el único número. Eche un vistazo debajo del capó de cualquier número y encontrará que son ceros hasta abajo. Nada mal para algo que alguna vez se consideró solo un mero marcador de posición.

Temas: