El teorema de incompletitud de Gödel: el hombre que arruinó las matemáticas

Kurt Gödel, el hombre que arruinó las matemáticas, fue uno de los pensadores más importantes del siglo XX. Nació en 1906, justo en medio de la mayor crisis que jamás hayan conocido las matemáticas. Apenas unas décadas más tarde, ayudaría a resolver esta confusión, pero al hacerlo condenaría a los matemáticos a un mundo más pequeño que el anterior.

Las matemáticas, como marco intelectual, son increíblemente poderosas. La cuestión es tomar un conjunto de ideas lógicas y utilizarlas para construir otro, haciendo de las matemáticas lo más parecido que tenemos a una máquina cognitiva de movimiento perpetuo: siempre hay una nueva idea matemática acechando en el horizonte, y sólo tenemos que reunir los pasos para llegar allí. O eso podría parecer. Pero, en realidad, hay una oscura verdad fundamental en el corazón de las matemáticas que pone límites a nuestra exploración intelectual. Se llama teorema de incompletitud de Gödel.

La historia de este teorema comienza a finales del siglo XIX, cuando los matemáticos comenzaron a desarmar los cimientos de su materia y rápidamente descubrieron que el edificio intelectual de los últimos 3.000 años estaba construido sobre arenas movedizas. Comenzaron a surgir indómitas paradojas y los matemáticos se vieron sumidos en el pánico.

A medida que avanzaba el siglo, un hombre decidió luchar contra el caos. En el escenario de una conferencia de París en 1900, el matemático David Hilbert presentó una lista de 23 problemas matemáticos no resueltos, sentando las bases para un programa de investigación que ocuparía a los matemáticos durante gran parte del siglo XX. “Mientras una rama de la ciencia ofrezca una gran cantidad de problemas, seguirá viva”, dijo a la multitud reunida.

La tarea que más tarde ocuparía a Gödel fue el segundo problema de Hilbert. Se trata de los axiomas de un ámbito matemático determinado, esencialmente los supuestos que sirven como reglas del juego y permiten hacer derivaciones lógicas a partir de ellos. El desafío de Hilbert a sus colegas matemáticos fue demostrar que los axiomas de la aritmética, específicamente, “no son contradictorios, es decir, que un número finito de pasos lógicos basados ​​en ellos nunca puede conducir a resultados contradictorios”.

Esto es algo muy deseable de demostrar. Imagínese jugar un juego de mesa en el que una interpretación de las reglas le otorga puntos, mientras que otra interpretación igualmente válida de las mismas reglas puede hacerle perder puntos. Un juego así sería, bueno, inútil.

Durante las siguientes décadas, Hilbert y sus colegas cercanos intentaron socavar su segundo problema, desarrollando lo que se conoció como Beweistheorie, o “teoría de la prueba”, una forma de convertir las pruebas en objetos matemáticos. Si bien una prueba es normalmente una colección de palabras en lenguaje natural y símbolos matemáticos, esta transformación en conceptos matemáticos más abstractos permitió a Hilbert y sus asociados estudiar las pruebas con las herramientas de las matemáticas, un poco como un libro de recetas que contiene una receta para hacer recetas. En 1928, pronunció una conferencia titulada Die Grundlagen Der Mathematik (“Los fundamentos de las matemáticas”), explicando que este nuevo método le permitiría “resolver definitivamente las cuestiones fundamentales de las matemáticas transformando cada enunciado matemático en una fórmula concretamente demostrable y rigurosamente derivable”, aunque admitió que “todavía será necesario mucho trabajo”.

En ese momento, Gödel era un estudiante de doctorado de 22 años en la Universidad de Viena, Austria. Trabajaba bajo la supervisión de matemáticos que seguían el programa de Hilbert, aunque no tenemos evidencia histórica que demuestre que los dos hombres alguna vez se conocieron o mantuvieron correspondencia directa. Un año más tarde, como parte de su tesis doctoral, Gödel publicó su teorema de completitud, un buen paso hacia los objetivos de Hilbert.

El teorema de completitud se refiere a modelos de conjuntos de axiomas, siendo estos modelos la comprensión matemática que vincula una colección de símbolos como “2”, “+” o “=” con los objetos matemáticos reales que describen. Esto es bastante abstracto, por lo que vale la pena repasar un pequeño ejemplo. Imaginemos que nuestros axiomas son “hay dos cosas” y “las cosas son diferentes”. Estos no son axiomas muy poderosos (no se puede demostrar mucho sólo con estos dos), pero son perfectamente válidos. Podemos aplicar muchos modelos diferentes a estos axiomas, como las caras de una moneda (cara o cruz), tus manos (izquierda o derecha) o incluso solo números (0 y 1). Aunque estos modelos parecen diferentes, describen el mismo objeto matemático: una colección de dos cosas distintas.

Lo importante es que se pueden aplicar muchos modelos diferentes al mismo conjunto de axiomas, y lo que Gödel demostró es que cualquier afirmación que sea verdadera en todos los modelos posibles de un conjunto de axiomas debe, por tanto, ser demostrable a partir de esos axiomas. Esto podría sonar un poco circular, como suele suceder cuando profundizamos en las entrañas de las definiciones matemáticas, pero fue prometedor para el esfuerzo de Hilbert por consolidar los fundamentos de las matemáticas.

No es que Hilbert pareciera darse cuenta, claro está. Gödel presentó su teorema de completitud el 6 de septiembre de 1930 en una conferencia en Königsberg (hoy conocida como Kaliningrado en Rusia). Hilbert estuvo en otra conferencia en Königsberg y pronunció un gran discurso el 8 de septiembre, en el que rechazó la idea de que existen límites al conocimiento humano. “Debemos saberlo. Lo sabremos”, dijo, palabras que finalmente quedaron grabadas en su lápida.

Sólo hay un problema con el grito de guerra de Hilbert a los matemáticos: Gödel ya había destruido toda esperanza el día anterior. No el 6 de septiembre, cuando presentó su teorema de completitud, sino el 7 de septiembre. Ese día, durante una discusión con colegas lógicos, Gödel dejó escapar que había identificado la posibilidad de afirmaciones “indecidibles”, aquellas que no pueden demostrarse como verdaderas dado un determinado conjunto de axiomas, pero que, fundamentalmente, tampoco pueden demostrarse como falsas. Esta fue la génesis de una idea que limitaría para siempre los horizontes de las matemáticas.

Es tentador imaginar a Gödel entre el público de la charla de Hilbert, riéndose silenciosamente para sí mismo, aunque no tenemos pruebas de que esto haya sucedido alguna vez: las dos conferencias se realizaron en diferentes partes de la ciudad. Lo que sí sabemos es que Gödel publicó su teorema de incompletitud (un espejo oscuro de su tesis doctoral) unos meses después, en enero de 1931.

Este teorema plantea dos afirmaciones importantes que vale la pena examinar por separado. La primera es exactamente lo que Gödel planteó en el debate del 7 de septiembre: que cualesquiera que sean sus axiomas, siempre habrá problemas que son indecidibles dentro de esos axiomas. Son un poco como una versión matemática de la frase paradójica “esta oración es falsa”, una afirmación que no resulta ni verdadera ni falsa. Los matemáticos ahora llaman a este hallazgo sobre problemas indecidibles el primer teorema de incompletitud de Gödel, y sigue siendo relevante casi un siglo después: aquí hay una historia divertida que escribí sobre programas de computadora con el potencial teórico de romper las matemáticas, todo debido a problemas indecidibles.

El primer teorema de incompletitud es una reescritura importante de nuestra comprensión de lo que pueden hacer las matemáticas, pero fue lo que ahora llamamos el segundo teorema de incompletitud de Gödel lo que realmente puso a Hilbert contra las cuerdas. Esto se debe a que Gödel demostró que cualquier conjunto de axiomas suficientemente poderoso (esencialmente, aquellos que interesan a los matemáticos) nunca puede usarse para demostrar que esos mismos axiomas no producirán inconsistencias.

Volviendo a la analogía del juego de mesa, puedes leer las reglas todo lo que quieras, pero nunca puedes estar seguro de que no producirán resultados contradictorios. Una garantía contra la contradicción es exactamente lo que Hilbert buscaba para los axiomas de la aritmética, y Gödel demostró que exactamente este problema es indecidible. Hay una cláusula de salida: si cambia a otro conjunto de axiomas, potencialmente puede demostrar la coherencia de sus axiomas anteriores. Pero esto no resuelve el problema, porque ahora habrá otras inconsistencias en tus nuevos axiomas. En lugar de perseguir horizontes matemáticos infinitos, los matemáticos deben contentarse con lo incognoscible.

Entonces, ¿cómo reaccionó Hilbert ante esta noticia trascendental? Increíblemente no lo hizo, al menos no públicamente. Según el biógrafo de Gödel, John Dawson, sabemos que Gödel envió un borrador de su artículo al asistente y colaborador cercano de Hilbert, Paul Bernays, quien acusó recibo y luego envió copias del artículo final publicado.

Dawson dice que los resultados de Gödel “provocaron la ira de Hilbert”, pero la única vez que Hilbert puso la pluma sobre el papel en respuesta a Gödel no llegó hasta 1934. “Se ha demostrado que la opinión, que surgió temporalmente y que sostenía que ciertos resultados recientes de Gödel muestran que mi teoría de prueba no se puede llevar a cabo, es errónea”, escribió Hilbert en un libro en coautoría con Bernays.

En otras palabras, el pobre Gödel nunca obtuvo una respuesta adecuada de Hilbert después de destruir esencialmente la visión de este último de las matemáticas como un motor infinito para el conocimiento. Quizás Hilbert simplemente no se atrevía a aceptarlo. Gödel ganó al final: lo incompleto se acepta como parte del canon matemático, con los límites resultantes de las matemáticas que nos hacen más ricos y más pobres por ello. A pesar de eso, no puedo evitar preguntarme si el desprecio de Hilbert hizo que el propio Gödel se sintiera incompleto.

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