Cómo el matemático Gödel demostró que no todo se puede demostrar

Por qué algunos teoremas matemáticos siempre serán imposibles de demostrar

Por Manon Bischoff editado por Daisy Yuhas

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Mis amigos y colegas a menudo me piden ayuda con preguntas relacionadas con los números. Después de todo, sé mucho sobre matemáticas. Irónicamente, en realidad soy bastante malo en aritmética mental.

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Lo que mucha gente no se da cuenta es que la materia académica de matemáticas no se trata de hacer sumas y restas rápidas mentalmente. De hecho, no fue hasta que fui a la universidad que entendí lo que realmente impulsa esta disciplina abstracta. Las matemáticas consisten en crear mundos.

Para ello, se establecen unas bases a partir de unas cuantas suposiciones concluyentes, los llamados axiomas, sobre las que se construye gradualmente. Surgen interrelaciones cada vez más complejas, hasta que finalmente se llega a temas altamente complejos que están a la vanguardia de la investigación matemática actual. En el proceso, se pasa de conjuntos elementales a números, de allí a funciones y finalmente a geometría, topología y áreas más abstractas.

Por lo tanto, todo en matemáticas se basa en los axiomas, o elementos básicos, del campo. Y fue necesario hasta principios del siglo XX para llegar al sistema de axiomas que tenemos hoy. Esto se debe a que su creación pareció un acto de equilibrio: por un lado, se quiere hacer la menor cantidad de suposiciones posible. Por otro lado, estas reglas deberían proporcionar suficiente flexibilidad para generar todas las matemáticas modernas. Además, los axiomas deberían ser intuitivos. Por ejemplo, parece plausible suponer que existe un conjunto vacío.

En última instancia, la mayoría de los expertos ahora están de acuerdo en un marco llamado teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección, o ZFC para abreviar. Consta de nueve supuestos básicos.

Toda esta construcción matemática del mundo podría llevarnos a pensar que los matemáticos lo tienen todo resuelto. Pero algunos de los hallazgos más interesantes e impactantes en este campo subrayan la incognoscibilidad de ciertas verdades, incluso dentro de un sistema que ha sido cuidadosamente construido desde cero.

Gödel deja que el sueño estalle

En el siglo XX, muchos matemáticos soñaban con encontrar una base para las matemáticas que fuera completa (es decir, que con ella se pudieran demostrar todas las verdades matemáticas) y consistente (que no condujera a contradicciones). Pero en 1931, un lógico que entonces tenía sólo 25 años, Kurt Gödel, destruyó estas esperanzas.

Su primer teorema de incompletitud establece que existen enunciados necesariamente no demostrables en todos los sistemas suficientemente fuertes y libres de contradicciones. Como si esto fuera poco, añadió un segundo teorema de incompletitud, según el cual sistemas libres de contradicciones suficientemente fuertes no pueden demostrar que están libres de contradicciones.

Es decir, una vez que se encuentra una base lo suficientemente poderosa como para producir las correlaciones conocidas de las matemáticas modernas, necesariamente contiene afirmaciones que no pueden ser probadas ni refutadas. Además, el sistema por sí solo no puede demostrar su propia coherencia.

Como corresponde a una prueba lógica, la argumentación de Gödel fue muy abstracta y de alto nivel. Por lo tanto, sus colegas inicialmente esperaban que el joven matemático hubiera encontrado una rareza puramente académica que no tendría implicaciones prácticas. Pero se equivocaron.

Y el sistema ZFC tiene numerosos ejemplos de afirmaciones que no se pueden probar, lo que subraya que Gödel tenía razón. Probablemente la más famosa sea la llamada hipótesis del continuo, que aborda la cuestión de si existe un infinito (o posiblemente varios) cuyo tamaño esté entre el de la infinidad de todos los números naturales y el de la infinidad demostrablemente mayor de todos los números reales. Sin ampliar los fundamentos de las matemáticas, nunca podremos llegar al fondo de esta cuestión.

Este artículo apareció originalmente en Spektrum der Wissenschaft y fue reproducido con autorización. Fue traducido de la versión original alemana con la ayuda de inteligencia artificial y revisado por nuestros editores.

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