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¿Las matemáticas son las culpables de los días con mal cabello? Antes de responder a esa pregunta, permítanme presentarles el “teorema de la bola peluda”. (Sí, así es realmente como se llama, aunque en Europa a veces se le llama “teorema del erizo”). Básicamente establece que es imposible peinar el cabello en una esfera sin crear un mechón o una calva en alguna parte.
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Si eso te sorprende, no estás solo. Después de todo, ¿quién hubiera pensado que conceptos topológicos complejos como los caracteres de Euler y las homotopías podrían tener algo que ver con los peinados? La topología se encuentra entre los campos más abstractos de las matemáticas. En topología, la forma exacta de una figura no importa. Se considera que dos objetos son iguales si puedes transformarlos uno en otro sin romperlos ni pegarlos. Un ejemplo famoso es una taza y un donut, que son idénticos a los topólogos porque ambos tienen exactamente un agujero, por lo que puedes remodelarlos entre sí. Mientras tanto, un panecillo nunca podrá convertirse en un bagel o un pretzel para un topólogo.
¿Dónde entra el pelo? Seamos simples y pensemos en alguien con mechones cortos y rectos. Su cabello se asemeja a un campo vectorial: cada punto (hebra) puede describirse como una pequeña flecha que apunta en una dirección determinada. Un ejemplo típico de campo vectorial es la dirección del viento: en cualquier lugar de nuestro planeta se puede determinar. Si trazas las flechas del viento en un globo terráqueo, el resultado se parecerá a una bola peluda o a un coco. Básicamente, el teorema dice que, en una esfera, no se puede crear un campo vectorial perfectamente continuo; en algún momento, habrá una ruptura, como una calva en la parte posterior de una cabeza cuidadosamente peinada.
Para entender esto, la analogía del planeta ventoso ayuda. Imagínese que sale a caminar, en dirección este a lo largo del Círculo Polar Ártico, con un viento constante durante todo el recorrido. Al empezar, sientes el viento en la espalda y luego, a medida que recorre el círculo, parece venir de la izquierda, luego del frente y finalmente de la derecha. Cuando regresas al punto de partida, vuelve a soplar en tu espalda. Entonces, para ti, el viento ha girado en el sentido de las agujas del reloj durante la caminata.
Ahora vuelas al Círculo Antártico para hacer lo mismo: empezar de nuevo con el viento a tu espalda. Luego sopla primero desde la derecha antes de llegar desde el frente y finalmente desde la izquierda. También en este caso, tu sensación de dónde te golpea el viento ha cambiado, pero en el sentido contrario a las agujas del reloj.
En este escenario, el viento sopla constantemente de la misma manera pero se percibe que cambia con el tiempo. Ese cambio percibido puede girar a lo largo de una trayectoria circular sólo en un múltiplo entero de 360 grados porque, de lo contrario, el viento tendría que soplar en diferentes direcciones en el punto inicial y final (lo cual es imposible porque son iguales; después de todo, has viajado en un círculo). Así que tenga en cuenta que para que un campo vectorial sea continuo, no debe cambiar su orientación de forma brusca.
En nuestro ejemplo, la dirección del viento a lo largo de los círculos polares norte y sur varía en el mismo valor en cada caso pero con signos diferentes: en el primer caso, la dirección del viento percibida gira en el sentido de las agujas del reloj. En el segundo, gira en sentido antihorario. Es decir, el viento gira –360 grados en el Círculo Polar Ártico y 360 grados en el Círculo Antártico, y esto supone una diferencia angular de 720 grados. Si el campo vectorial va a ser continuo, debe ser cero en un punto como mínimo. Un punto así suele ser un vórtice en un campo vectorial continuo. Meteorológicamente, esto también significa que en algún lugar del mundo siempre hay un huracán en cuyo ojo no hay ningún viento. Es más, este teorema tiene implicaciones para la fusión nuclear.
Ahora bien, dicho todo esto, realmente no podemos culpar a las matemáticas por las calvas y los mechones. Esto se debe a que, estrictamente hablando, nuestra cabeza no cumple los criterios necesarios para que se aplique este teorema. Por un lado, tenemos muy pocos pelos; en el mundo matemático, cada punto de una superficie debe estar ocupado por un vector. Por otro lado, nuestro cuerpo tiene múltiples aberturas, incluido un orificio que va desde la boca hasta el sistema digestivo. Entonces, para un topólogo, somos más como un donut que como una esfera.
Aún así, estoy feliz de culpar al teorema de la bola peluda por mi próximo día con mal cabello. Es una excusa creativa, al menos.
Este artículo apareció originalmente en Spektrum der Wissenschaft y fue reproducido con autorización. Fue traducido de la versión original alemana con la ayuda de inteligencia artificial y revisado por nuestros editores.
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