El astuto truco matemático para resolver problemas sin responderlos

Una matemática abre la puerta de su oficina y encuentra un pequeño incendio. Sin entrar en pánico, mira alrededor de la habitación y ve un extintor de incendios. “¡Ah, existe una solución!” dice, antes de cerrar la puerta y continuar con su día. El simple hecho de saber que es posible extinguir el fuego es prueba suficiente de que el problema puede resolverse: ¿por qué molestarse en seguir los trámites necesarios para hacerlo? Este viejo chiste resume cómo se hacen muchas de las matemáticas modernas, gracias a una táctica furtiva para la resolución de problemas: la prueba no constructiva.

Es una idea complicada de entender, así que aquí tienes un ejemplo mayoritariamente no matemático. Digamos que hay 367 personas en una habitación: ¿cuáles son las posibilidades de que dos de ellas coincidan en su cumpleaños? La respuesta es 100 por ciento, porque (suponiendo que tengamos en cuenta los años bisiestos) sólo hay 366 cumpleaños posibles, y cada persona debe tener un cumpleaños, por lo que al menos dos personas deben tener el mismo cumpleaños. Este es un ejemplo de lo que los matemáticos llaman el “principio del casillero” (las personas son las palomas, los agujeros son los cumpleaños) y es una forma clásica de abordar demostraciones no constructivas. Sabemos que dos personas deben compartir el mismo cumpleaños, incluso si no tenemos idea de quiénes de las 367 personas son.

Tradicionalmente, las pruebas eran exactamente lo contrario de esto. Si demostrabas algo, generalmente tomabas un objeto matemático concreto y lo exhibías para que todos lo vieran. Todo eso empezó a cambiar en el siglo XIX, cuando las demostraciones no constructivas se convirtieron en una herramienta más poderosa y popular en el arsenal de los matemáticos. Al frente de esta nueva forma de hacer matemáticas estaba David Hilbert, uno de los grandes matemáticos de su tiempo y, al menos a los ojos de algunos, un alborotador.

El problema que Hilbert estaba investigando es complejo y requiere un poco de preparación. Empecemos pensando en un cuadrado. Puedes rotar un cuadrado 90 grados y terminará luciendo igual; quizás estés familiarizado con esto porque se llama simetría rotacional. Otra forma de describirlo es que el cuadrado es “invariante” bajo rotaciones de 90 grados.

Hilbert estaba interesado en las invariantes, no de objetos geométricos como cuadrados, sino algebraicos, como ecuaciones. Para una clase determinada de objeto algebraico, los matemáticos se habían dado cuenta de que existe esencialmente un número infinito de invariantes. La pregunta entonces fue: ¿cuántos necesitas realmente? ¿Puedes comenzar con algunas invariantes clave y usarlas para construir cualquier otra invariante que desees? Hilbert no fue la primera persona en abordar la identificación de un “conjunto generador” para invariantes; otro matemático, Paul Gordan, había pasado toda su carrera investigándolo. Gordan había descubierto grupos electrógenos finitos para unos pocos objetos, pero su prueba fue confusa y compleja. Quedó asombrado, entonces, cuando en 1888 apareció Hilbert y demostró que esto era cierto para una clase mucho mayor de objetos algebraicos, sin especificar realmente la composición de los grupos electrógenos. Lo hizo asumiendo primero que hay un invariante que no puede ser producido por un conjunto generador, y luego demostró que esto llevaría a la creación de una corriente infinita de más invariantes de una manera que no está permitida por las reglas algebraicas en las que operaba Hilbert: una contradicción lógica. La única manera de resolver la contradicción es entonces que el grupo electrógeno debe existir siempre.

La reacción de Gordon ante esta prueba no constructiva fue inicialmente negativa. “Eso no son matemáticas, eso es teología”, dijo, horrorizado de que Hilbert le pidiera que creyera en la existencia de un grupo electrógeno sin proporcionárselo. ¿Seguramente eso no cuenta como respuesta? Sin embargo, Gordan aceptó la forma de pensar de Hilbert y luego afirmó que “la teología tiene sus ventajas”.

Las batallas de Hilbert aún no habían terminado. Así como él era un joven advenedizo que desafiaba a Gordan, también apareció un advenedizo más joven en la forma de LEJ Brouwer. Hilbert pasó unas cuantas décadas construyendo la filosofía matemática del formalismo, que esencialmente considera que las matemáticas son un juego de manipulación de símbolos de una manera lógica para producir pruebas, sin preocuparse demasiado por el mundo real o los objetos matemáticos a los que esos símbolos podrían corresponder. Para los formalistas, una demostración no constructiva es simplemente una de las muchas formas de ganar el juego.

Brouwer odiaba esta idea. Su filosofía fue el intuicionismo, que sostiene que las matemáticas son una creación de la mente humana. Rechazó la manipulación de símbolos como actividad subyacente de las matemáticas, viéndolos sólo como una forma de transmitir el pensamiento de un matemático a otro. Desde este punto de vista, una demostración no constructiva es hacer trampa: para que un objeto matemático sea real, debes poder construirlo en tu mente.

Donde realmente chocan estas dos filosofías es en algo llamado la ley del tercero excluido. Este es un antiguo principio de lógica que establece que para toda proposición lógica, o esa proposición es verdadera o su negación lo es. En otras palabras, si digo “Hilbert era un gato”, o eso debe ser cierto o Hilbert no era un gato (es lo último, para evitar dudas).

Esto puede parecer obvio, pero resulta ser una herramienta matemática útil. En la prueba de Hilbert de 1888, asumió que “no todos los invariantes pueden ser producidos por un conjunto generador finito” y encontró una contradicción, haciendo que esa proposición fuera falsa. Según la ley del tercero excluido, “todos los invariantes pueden ser producidos por un conjunto generador finito” debe ser cierto, incluso sin mostrar cómo construir tal conjunto.

La objeción de Brouwer fue aplicar la ley del tercero excluido a un conjunto infinito de objetos, como estaba haciendo Hilbert. No tuvo ningún problema en usarlo para conjuntos finitos porque, en principio, podías comprobar cada objeto del conjunto y convencerte de que tenían o no una determinada propiedad. Pero para conjuntos infinitos, esto no se puede hacer.

Hilbert pensó que esto era ridículo y comparó las restricciones a la ley del medio excluido con “prohibir al boxeador el uso de los puños”. Brouwer, a su vez, se refirió a Hilbert como “mi enemigo”. Esto fue un problema, porque ambos trabajaron en Mathematische Annalen, entonces y hoy una de las revistas de matemáticas más importantes. Hilbert fue uno de los tres editores, junto con Albert Einstein, mientras que Brouwer estaba en el consejo editorial. Hilbert estaba tan indignado por la influencia de Brouwer sobre la revista que en 1928 despidió a todo el consejo editorial sólo para deshacerse de él. En respuesta, Einstein también renunció a su puesto y preguntó: “¿Qué es esta batalla de la rana y el ratón entre los matemáticos?”

En términos prácticos, Einstein tenía razón al descartar el argumento. Hoy en día, muy pocos matemáticos se preocupan por una filosofía explícita y la gran mayoría está feliz de emplear demostraciones no constructivas como herramienta útil. Se podría decir que esto significó que Hilbert ganó, y ciertamente Brouwer se convirtió en una figura cada vez más aislada e irrelevante después de su despido de Mathematische Annalen. Pero como he escrito anteriormente, el formalismo de Hilbert pronto recibiría un golpe fatal de parte de Kurt Gödel, cuyo teorema de incompletitud mostraba que el juego de manipulación de símbolos nunca podría ser completamente consistente. Gödel no era un intuicionista (de hecho, su teorema de completitud, precursor del de incompletitud, se basa en la ley del tercero excluido), pero sí se inspiró en Brouwer en su propia lucha contra Hilbert.

Las ideas de Gödel y Brouwer más tarde cobrarían importancia en la informática, informando el trabajo de Alan Turing y las preguntas sobre qué problemas son computables. Hoy en día, estas ideas están volviendo a estar de moda a medida que los matemáticos recurren a la IA y a la verificación formal de pruebas, en la que cada paso de una prueba debe ser legible por máquina para verificar que sea verdadera. Eso, a su vez, algún día puede conducir a una prueba no constructiva, verificada como lógicamente verdadera, que los matemáticos, sin embargo, no comprenden del todo porque fue creada por una IA que no puede explicársela a la mente humana. Si eso sucede, Brouwer será el último en reír.

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