En otras palabras, el décimo problema de Hilbert es indecidible.
Los matemáticos esperaban seguir el mismo enfoque para demostrar la versión extendida del problema de los anillos de los anillos, pero golpearon un problema.
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La correspondencia útil entre las máquinas Turing y las ecuaciones diófantinas se desmorona cuando las ecuaciones pueden tener soluciones no enteras. Por ejemplo, considere nuevamente la ecuación Y = incógnita2. Si está trabajando en un anillo de enteros que incluye √2, entonces terminará con algunas soluciones nuevas, como incógnita = √2, Y = 2. La ecuación ya no corresponde a una máquina de turbio que calcula cuadrados perfectos y, en general, las ecuaciones diofantinas ya no pueden codificar el problema de detención.
Pero en 1988, un estudiante graduado en la Universidad de Nueva York nombró Sasha shlapentokh Comenzó a jugar con ideas sobre cómo solucionar este problema. Para 2000, ella y otros habían formulado un plan. Digamos que debías agregar un montón de términos adicionales a una ecuación como Y = incógnita2 que mágicamente forzó incógnita Ser un entero nuevamente, incluso en un sistema de números diferentes. Entonces podría salvar la correspondencia a una máquina de turbio. ¿Se podría hacer lo mismo para todas las ecuaciones diofantinas? Si es así, significaría que el problema de Hilbert podría codificar el problema de detención en el sistema de nuevos números.
Ilustración: Myriam Wares para Revista cuanta
Con los años, Shlapentokh y otros matemáticos descubrieron qué términos tenían que agregar a las ecuaciones diofantinas para varios tipos de anillos, lo que les permitió demostrar que el problema de Hilbert aún era indecidible en esos entornos. Luego redujeron todos los anillos de enteros restantes a un caso: anillos que involucran el número imaginario i. Los matemáticos se dieron cuenta de que en este caso, los términos que tendrían que agregar podrían determinarse utilizando una ecuación especial llamada curva elíptica.
Pero la curva elíptica tendría que satisfacer dos propiedades. Primero, necesitaría tener infinitamente muchas soluciones. En segundo lugar, si cambió a un anillo diferente de enteros, si eliminó el número imaginario de su sistema de números, luego todas las soluciones a la curva elíptica tendrían que mantener la misma estructura subyacente.
Al final resultó que, construir una curva tan elíptica que funcionó para cada anillo restante fue una tarea extremadamente sutil y difícil. Pero Koymans y Pagano, los expertos en curvas elípticas que habían trabajado estrechamente juntos desde que estaban en la escuela de posgrado, tenían la herramienta adecuada para probar.
Noches de insomnio
Desde su tiempo como estudiante universitario, Koymans había estado pensando en el décimo problema de Hilbert. A lo largo de la escuela de posgrado, y durante su colaboración con Pagano, hizo señas. “Pasaba unos días cada año pensando en ello y me quedé horriblemente”, dijo Koymans. “Probaría tres cosas y todos explotarían en mi cara”.
En 2022, mientras estaba en una conferencia en Banff, Canadá, él y Pagano terminaron conversando sobre el problema. Esperaban que juntos pudieran construir la curva elíptica especial necesaria para resolver el problema. Después de terminar otros proyectos, llegaron a trabajar.