Los matemáticos resuelven un rompecabezas de aguja giratoria de décadas
Durante mucho tiempo, la conjetura de Kakeya, que implica girar una aguja infinitamente estrecha, mantuvo a los matemáticos adivinando, hasta ahora ahora
Sean Gladwell/Getty Images
Es raro leer sobre “progreso espectacular“O un”una vez al siglo“Resulta en matemáticas. Esa es por una buena razón: si un problema no ha tenido una solución durante muchos años, generalmente se necesitan enfoques e ideas completamente nuevos para abordarlo. Este también es el caso con la inocente” Kakeya Conjetura “, que se relaciona con la pregunta de cómo rotar una aguja de tal manera que se acerque lo menos posible.
Los expertos han estado acumulando sus cerebros sobre los problemas asociados desde 1917. Pero en un artículo de preimpresión publicado en febrero, el matemático Hong Wang de la Universidad de Nueva York y su colega Joshua Zahl de la Universidad de Columbia Británica finalmente probado La versión tridimensional de la conjetura Kakeya. “Se destaca como uno de los principales logros matemáticos del siglo XXI”, “, dijo el matemático Eyal Lubetzky de norte.Y.U. en reciente presione soltar.
Supongamos que hay una aguja infinitamente estrecha en una mesa. Ahora desea rotarlo 360 grados para que la punta de la aguja apunte una vez en cada dirección del avión. Para hacer esto, puede sostener la aguja en el medio y girarla. A medida que gira, la aguja cubre la superficie de un círculo.
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Pero si eres inteligente, la aguja puede hacer su viaje de 360 grados mientras toma menos espacio. En 1917, el matemático S & Omacr; Ichi Kakeya quería investigar el área más pequeña requerida para rotar la aguja. Por ejemplo, al girar no solo el extremo exterior de la aguja sino también su centro, puede obtener un área que corresponde a un triángulo con lados curvos.
Años después, matemático Abram Besicovitch hizo un descubrimiento inesperado. Si sigue moviendo la aguja de un lado a otro como una maniobra de estacionamiento paralela compleja, la superficie de que las cubiertas de aguja infinitamente estrechas pueden tener un área total de cero.
La dimensión de un área de cero?
A partir de ahí, los expertos comenzaron a preguntarse qué dimensión tiene esta “superficie de Kakeya”. Por lo general, las superficies en un plano, como un rectángulo o un círculo, son bidimensionales. Pero hay excepciones: los fractales, por ejemplo, también pueden tener dimensiones fraccionales, lo que significa que pueden ser 1.5 dimensionales, por ejemplo.
Debido a que las superficies de Kakeya pueden verse muy irregulares, la cuestión de la dimensionalidad es obvia. De hecho, tiene implicaciones para muchas otras áreas de las matemáticas, incluido el análisis armónico, que desglosa curvas matemáticas complicadas en sumas de funciones más simples y la teoría de las medidas geométricas.
De hecho, en 1971, el matemático Roy Davies pudo demostrar Que la superficie de Kakeya siempre es bidimensional, incluso si su área desaparece. Pero en matemáticas, las personas están interesadas en los resultados generales. Los expertos querían resolver el problema en norte dimensiones: hace una aguja que se gira a lo largo de todos norte Las instrucciones espaciales siempre cubren un norte-El volumen dimensional? Esta hipótesis ahora se conoce como la conjetura de Kakeya.
El caso tridimensional demostró ser una tuerca extremadamente dura de romper. A lo largo de las décadas, los expertos han podido descartar la posibilidad de que una aguja giratoria cubra un volumen con menos de 2.5 dimensiones espaciales, pero eso fue lo más lejos que llegaron.
Sin embargo, Wang y Zahl no se desanimaron y se abrieron paso a paso. A través del esfuerzo minucioso, gradualmente lograron eliminar todos los casos en los que el volumen cubierto tendría una dimensión de menos de tres.
De esta manera, finalmente pudieron probar la conjetura de Kakeya en tres dimensiones espaciales, lo que demuestra que el volumen cubierto por la aguja siempre es tridimensional. En el reciente comunicado de prensa, el matemático Guido de Philippis de NYU comentó: “Espero que sus ideas conduzcan a una serie de emocionantes avances en los próximos años”.
Este artículo apareció originalmente en Spektrum der Wissenschaft y fue reproducido con permiso.