Un problema nudoso para los matemáticos finalmente tiene una solución
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¿Por qué desenredar dos nudos pequeños es más difícil que desentrañar uno grande? Sorprendentemente, los matemáticos han descubierto que los nudos más grandes y aparentemente más complejos creados al unir dos más simples a veces pueden ser más fáciles de deshacer, invalidando una conjetura planteada hace casi 90 años.
“Estábamos buscando un contraejemplo sin tener una expectativa de encontrar uno, porque esta conjetura había existido durante tanto tiempo”, dice Mark Brittenham en la Universidad de Nebraska en Lincoln. “En la parte posterior de nuestras cabezas, estábamos pensando que la conjetura probablemente sería cierta. Fue muy inesperado y muy sorprendente”.
Los matemáticos como Brittenham estudian nudos al tratarlos como bucles enredados con extremos unidos. Uno de los conceptos más importantes en la teoría de nudos es que cada nudo tiene un número de nudejo, que es la cantidad de veces que tendría que cortar la cuerda, mover otra pieza del bucle a través del espacio y luego volver a unirse los extremos antes de llegar a un círculo sin cruces, conocido como el “no ga.”.
Calcular números sin nknoting puede ser una tarea muy computacionalmente intensiva, y todavía hay nudos con tan solo 10 cruces que no tienen solución. Debido a esto, puede ser útil romper los nudos en dos o más nudos más simples para analizarlos, con aquellos que no se pueden dividir más conocidos como nudos principales, análogos a los números primos.
Pero un misterio de larga data es si los números no nudosos de los dos nudos agregados juntos le darían el número de nudejo del nudo más grande. Intuitivamente, podría tener sentido que un nudo combinado sea al menos tan difícil de deshacer como la suma de sus partes constituyentes, y en 1937, se conjeturó que deshacer el nudo combinado nunca podría ser más fácil.
Ahora, Brittenham y Susan Hermillertambién en la Universidad de Nebraska en Lincoln, han demostrado que hay casos en que esto no es cierto. “La conjetura ha existido durante 88 años y, a medida que la gente continúa no encontrando nada malo, la gente tiene más esperanzas de que sea cierto”, dice Hermiller. “Primero, encontramos uno, y luego rápidamente encontramos infinitamente muchos pares de nudos para quienes la suma conectada tenía números sin nknoting que eran estrictamente menores que la suma de los números sin nknotting de las dos piezas”.
“Hemos demostrado que no entendemos los números no nudosos tan bien como pensamos que lo hicimos”, dice Brittenham. “Podría haber, incluso para nudos que no son sumas conectadas, formas más eficientes de las que jamás imaginamos para no nudarlos. Esperamos que esto realmente haya abierto una nueva puerta para que los investigadores comiencen a explorar”.
Un ejemplo de un nudo que es más fácil de deshacer que sus partes constituyentes
Mark Brittenham, Susan Hermiller
Si bien encontrar y verificar los contraejemplos implicó una combinación de conocimiento existente, intuición y potencia informática, la etapa final de verificar la prueba se realizó de una manera decididamente más simple y práctica: atar el nudo con un trozo de cuerda y desanimar físicamente para demostrar que el número de no nudo predicho de los investigadores era correcto.
Andras Juhasz en la Universidad de Oxford, que anteriormente trabajó con la compañía de IA Deepmind Para demostrar una conjetura diferente en la teoría de nudosdice que él y la compañía habían intentado sin éxito romper este último problema sobre los conjuntos de aditivos de la misma manera, pero sin suerte.
“Pasamos al menos un año o dos tratando de encontrar un contraejemplo y sin éxito, así que nos dimos por vencidos”, dice Juhasz. “Es posible que para encontrar contraejemplos que sean como una aguja en un pajar, la IA tal vez no sea la mejor herramienta. Esta fue un contraejemplo difícil de encontrar, creo, porque buscamos bastante duro”.
A pesar de que hay muchas aplicaciones prácticas para la teoría de nudos, desde la criptografía hasta la biología molecular, Nicholas Jackson En la Universidad de Warwick, Reino Unido, duda en sugerir que este nuevo resultado puede aprovecharse. “Creo que ahora entendemos un poco más sobre cómo funcionan los círculos en tres dimensiones que antes”, dice. “Una cosa que no entendíamos tan bien hace un par de meses ahora se entiende un poco mejor”.