El matemático que no existe

Uno de los matemáticos más importantes del mundo lleva casi un siglo trabajando, produciendo decenas de libros con un total de miles de páginas que han servido de guía para todo el campo. Se llama Nicolas Bourbaki y no existe.

Bourbaki es un seudónimo de una sociedad secreta de matemáticos. Formado por primera vez en Francia en 1934, el grupo comenzó con un objetivo simple: actualizar los libros de texto de matemáticas y hacerlos más adecuados para una audiencia contemporánea. En cambio, creó una forma completamente nueva de escribir matemáticas que causaría sensación durante décadas.

Inicialmente, el grupo pensó que su trabajo tendría unas mil páginas y una duración de seis meses. En 1935, Bourbaki había decidido escribir una serie de seis libros, cada uno de los cuales se basaba en el anterior para “proporcionar una base sólida para todo el cuerpo de las matemáticas modernas”, como se afirmó más tarde en una introducción explicativa. El grupo pensó que tendría más de 3.000 páginas y estaría terminado en un año. Acertaron en lo primero y en lo segundo muy mal.

A pesar de la intención de que los libros (que en última instancia consistían en varios volúmenes físicos) se leyeran en orden, el primer texto publicado por Bourbaki, en 1939, fue el último capítulo de lo que se convirtió en el primer libro, Teoría de conjuntos. A partir de ahí, el grupo saltó de un lado a otro, publicó varios capítulos de otros libros a lo largo de los años y solo regresó a la Teoría de Conjuntos en 1954, completándola finalmente en 1970. El trabajo completo finalmente se denominó Elementos de Matemática, con el inusual singular destinado a enfatizar el trabajo de los matemáticos como un todo cohesivo. Los seis libros no se finalizaron hasta la década de 1980, con un recuento final de casi 4.000 páginas, aunque en ese momento Bourbaki continuó publicando nuevos libros a medida que el alcance del proyecto original se expandía aún más.

Este calendario editorial anárquico se debe a la forma única de trabajar de Bourbaki. El grupo original estaba formado por media docena de jóvenes profesores de matemáticas, incluido André Weil, que llegaría a ser increíblemente influyente en la teoría de números y la geometría algebraica. La mayoría eran antiguos alumnos de la École Normale Supérieure de París, Francia, y fue una broma de sus días universitarios relacionada con un incomprensible “teorema de Bourbaki” lo que inspiró el nombre del grupo.

Esta actitud bromista fue clave para la cohesión del grupo. Las reuniones eran caóticas y estaban impulsadas por el alcohol, y a menudo terminaban en peleas a gritos y bromas lascivas. Un miembro redactaba un texto sugerido y lo leía, línea por línea, para que el resto del grupo lo criticara y discutiera. Luego, otro miembro produciría un texto revisado y el proceso continuó hasta que hubo un acuerdo unánime. No es de extrañar que haya tardado tanto, ya que la producción de un capítulo medio tarda 10 años. A los miembros de Bourbaki se les pidió que se jubilaran cuando cumplieran 50 años y se reclutó a otros para reemplazarlos, por lo que se trató de un esfuerzo matemático multigeneracional.

Un problema eterno

Pero ¿qué estaba haciendo realmente Bourbaki? En contraste con la forma en que fue realizado, el trabajo de Bourbaki fue sobrio y riguroso hasta el extremo. La teoría de conjuntos tenía como objetivo construir una base que pudiera abordar un problema eterno en el corazón de las matemáticas, que es que los objetos e ideas matemáticos que preocupan a los matemáticos son independientes del lenguaje o los símbolos humanos.

Para entender por qué, piense en la palabra “suma” o en el símbolo “+”. Estos tienen una relación completamente arbitraria con el concepto matemático subyacente real: podríamos usar cualquier cadena de símbolos para denotar la suma, siempre que estemos de acuerdo en lo que significa. Por el contrario, la suma tiene una relación estricta e intrínseca con la resta, porque una invierte la otra y esto es cierto sin importar cómo las llamemos.

En la práctica, el etiquetado de conceptos matemáticos no es un problema porque los matemáticos tienen convenciones para una correspondencia estándar entre conceptos y palabras o símbolos, pero, en principio, existe la posibilidad de contradicción o desacuerdo.

Bourbaki no fue el primero en intentar este tipo de formalización (recientemente escribí aquí sobre algunos de los primeros esfuerzos), pero fue quizás el más pedante. Por ejemplo, el número 1 está cuidadosamente definido en una nota a pie de página en la página 158 de Teoría de conjuntos. Bourbaki escribe que “el símbolo ‘1’, por supuesto, no debe confundirse con la palabra ‘uno’ en el lenguaje común”, sino que debe considerarse equivalente a la siguiente definición:

τZ ((∃u)(∃U)(u = (U, {∅}, Z) y U ⊂ {∅} × Z y (∀x)((x ∈ {∅}) ⇒ (∃y)((x, y) ∈ U)) y (∀x)(∀y)(∀y’)(((x, y) ∈ U y (x, y’) ∈ U) ⇒ (y = y’)) y (∀y)((y ∈ Z) ⇒ (∃x)((x, y) ∈ U))))

No entrar en pánico. No puedo intentar un desglose completo de esto aquí, aunque una explicación de muy alto nivel es que ∅ es un conjunto (un término matemático para una colección de objetos) y ese conjunto contiene cero objetos, lo que lo convierte en “el conjunto vacío”. A partir de ahí, 1 se define como {∅}, el conjunto que contiene un objeto, siendo ese objeto el conjunto vacío. Puedes leer más sobre eso en una columna anterior.

Sin embargo, lo que es increíble es que este lío de símbolos en realidad esconde una definición formal mucho más amplia, con cada garabato definido cuidadosa y dolorosamente basándose en el texto anterior del libro, usando solo los símbolos τ, ∨, ¬, ☐, =, ⊂ y ∈. Vale la pena decir que Bourbaki nunca los escribe en su totalidad; la nota a pie de página estima que hacerlo para esta definición requeriría decenas de miles de símbolos. Esto resulta ser una subestimación significativa, ya que matemáticos posteriores calcularon que escribir la expresión completa del número 1 requeriría más de 4,5 mil millones de símbolos, o posiblemente 2,409,875,496,393,137,472,149,767,527,877,436,912,979,508,338,752,092,897. símbolos, dependiendo de lo estricto que quieras ser.

Claramente, desviarse de una formalización tan intensa es necesario si los matemáticos realmente quieren realizar algún trabajo, y Bourbaki lo admite así, aunque siempre insiste en que el uso de atajos como “1” o “uno” son “abusos del lenguaje”. Al establecer las reglas, Bourbaki dio permiso a los matemáticos para romperlas.

El problema con las nuevas matemáticas

Entonces, ¿qué se consiguió realmente con todo esto? Por un lado, permitió alcanzar el objetivo de Bourbaki de unificar las matemáticas como una entidad singular. Si en teoría se pueden describir términos y conceptos de dos ramas diferentes de las matemáticas utilizando los mismos símbolos básicos, esto proporciona una base rigurosa para pasar de una a otra. En la práctica, nadie hace esto, pero coloca a las matemáticas en un terreno filosófico más firme. Y décadas después, el enfoque de Bourbaki está demostrando ser sorprendentemente influyente, a medida que los matemáticos exploran el uso de la formalización asistida por computadora para verificar las pruebas producidas por la inteligencia artificial. Bourbaki también introdujo muchos conceptos y símbolos (∅ para el conjunto vacío, por ejemplo) que los matemáticos siguen utilizando en la actualidad. En términos más generales, el estilo de escritura bourbakiano sigue influyendo en los libros de texto de matemáticas modernos.

Sin embargo, Bourbaki no estuvo exento de detractores. Mientras continuaba la publicación de Elements of Mathematic, algunos matemáticos se rebelaron contra la insistencia del grupo en un rigor pedante. Lo que es más extraño, Bourbaki inspiró un intento catastrófico de rehacer la forma en que se enseñan las matemáticas en las escuelas. La “Nueva Matemática”, como se la llamó, surgió por primera vez a fines de la década de 1950 en Francia y luego se extendió a los EE. UU. y otros países y buscaba abandonar las herramientas pedagógicas tradicionales como las tablas de multiplicar y, en cambio, adoptar un enfoque riguroso de las matemáticas basado en la teoría de conjuntos y basado en las enseñanzas de Bourbaki. El objetivo era comprender la idea general de la multiplicación, por ejemplo, en lugar de memorizar hechos específicos como 3 × 4 = 12.

New Math fue visto en general como un desastre. Los padres no entendían lo que se les enseñaba a sus hijos y, en muchos casos, los maestros tampoco. Un libro superventas, Por qué Johnny no puede sumar, sirvió como una reprimenda mordaz y, a finales de la década de 1970, New Math había sido prácticamente abandonado. La década de 1970 también fue mala para Bourbaki en otro frente, ya que el grupo se vio obligado a librar una batalla legal por derechos de autor y regalías con su editor.

Sin embargo, Bourbaki sigue en funcionamiento hoy en día, publicando dos nuevos capítulos de libros este año, aunque, como es tradicional, los autores detrás de ellos permanecen en secreto. En cierto modo, el secreto permite a los matemáticos tratar a Bourbaki como a un tío un poco embarazoso: todos se alegran de que esté allí, haciendo un trabajo que nadie más quiere hacer, pero al mismo tiempo los matemáticos se sienten aliviados de no tener que invitarlo a cenar.

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