¿Qué acecha en el borde?
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Los matemáticos aficionados se están acercando a un inimaginablemente gran número – Uno tan grande que se reprime en el borde de lo que incluso se puede conocer en el marco de las matemáticas modernas.
Todo se deriva de una pregunta aparentemente simple: ¿cómo saber si un programa de computadora se ejecutará para siempre? Responder esto comienza con el matemático Alan Turing. En la década de 1930, demostró que cualquier algoritmo de computadora se puede imitar imaginando una simple “máquina de turbios” que lee y escribe 0 y 1 en una cinta infinitamente larga siguiendo un conjunto de instrucciones llamadas estados, con algoritmos más complejos que requieren más estados.
Para cada número de estados, como 5 o 100, hay finamente muchas máquinas Turing correspondientes, pero no está claro por cuánto tiempo debe funcionar cada una de estas máquinas. El tiempo de ejecución más largo posible para cada número de estados se llama el número de castor ocupado o BB (n), y esta secuencia crece increíblemente rápidamente: BB (1) es 1, BB (2) es 6, pero el quinto número de castores de Octate es 47,176,870.
Se desconoce el valor exacto del siguiente número de castores ocupados, el sexto, pero una comunidad en línea llamada The Busy Beaver Challenge es Intentando descubrirlo -Descubrieron BB (5) en 2024, poniendo fin a una búsqueda de 40 años. Ahora, un miembro conocido como “mxdys” ha Descubrí que debe ser al menos tan grande como un número tan grande que incluso describirlo requiere alguna explicación.
“Este número está mucho más allá de lo físico, ni siquiera es divertido”, dice Shawn Ligockiun ingeniero de software y contribuyente de Beaver Challenge. Compara la búsqueda a través de todas las posibles máquinas de Turing con la pesca en un mar matemático profundo donde solo nadan en la oscuridad.
El nuevo límite para BB (6) es tan grande que requiere un lenguaje matemático que trasciende la exponencia: la práctica de elevar un número N al poder de otra x, o nincógnitacomo 2³, que es 2*2*2 = 8. Primero, hay tetración, a veces escrita como incógnitan, que implica exponenciación iterada, entonces 32 se elevaría 2 al poder de 2, al poder de 2, que es igual a 16.
Sorprendentemente, MXDYS ha demostrado que BB (6) está al menos 2 tetrado a los 2 tetrados a los 2 tetrados a los 9, una torre de tetración iterada, donde cada tetración es, a su vez, una torre de exponencia iterada. El número de todas las partículas en el universo parece insignia en comparación, dice Ligocki.
Pero los números de castores ocupados no son importantes solo por su tamaño absurdo. Turing demostró que debe haber algunas máquinas de Turing cuyos comportamientos no se pueden predecir bajo la teoría ZFC, una base que bajo las matemáticas modernas estándar. Fue inspirado por el “teorema incompleto” del matemático Kurt Gödel, que mostró que las reglas de ZFC en sí no pueden usarse para demostrar que la teoría está garantizada que está absolutamente libre de todas las contradicciones.
“El estudio de los números de castores ocupados está haciendo los fenómenos descubiertos por Gödel y Turing hace casi un siglo cuantitativo y concreto”, dice Scott Aaronson en la Universidad de Texas en Austin. “En lugar de simplemente decir que las máquinas de Turing deben eludir la capacidad de ZFC para determinar su comportamiento después de algún punto finito, ahora podemos preguntar, ¿eso ya sucede con máquinas de 6 estados o solo con máquinas de 600 estados?” Los investigadores han demostrado hasta ahora que BB (643) ELUDE teoría de ZFCpero muchos de los números más pequeños aún no se han explorado.
“El problema de castor ocupado le brinda una escala muy completa para reflexionar sobre la frontera del conocimiento matemático”, dice el científico informático Tristan Stérin, quien lanzó el ocupado Beaver Challenge en 2022.
En 2020, Aaronson escribió Que la función de castor ocupado “probablemente codifica una gran parte de toda la verdad matemática interesante en sus primeros cien valores”, y BB (6) no es una excepción. Parece estar relacionado con el Conjetura de colatzun problema matemático famoso sin resolver que implica repetir operaciones aritméticas simples en números y ver si eventualmente se convierten en 1. Encontrar BB (6) parece estar relacionado con una máquina Turing que tendría que imitar algunos de los pasos de este problema para detenerse. Si se encontrara que dicha máquina se detenga, indicaría que hay una prueba computacional para una versión de la conjetura.
Los números con los que los investigadores están tratando son increíbles en su magnitud, pero el marco de Beaver ocupado proporciona un palo de medidor para lo que de otro modo sería una región aparentemente ininteligible de las matemáticas. En opinión de Stérin, esto es lo que mantiene a muchos de los contribuyentes enganchados, a pesar de que la mayoría de ellos no son académicos. Estima que actualmente hay unas pocas docenas que constantemente trabajan en encontrar BB (6).
Todavía hay varios miles de máquinas de Turing “Holdout” cuyo comportamiento detallado no ha sido revisado, dice. “A la vuelta de la esquina, podría haber una máquina incognoscible”, dice Ligocki, lo que significa que es independiente de ZFC y más allá de los límites de las matemáticas modernas.
¿Podría el valor exacto de BB (6) también estar a la vuelta de la esquina? Ligocki y Stérin dicen que saben mejor que tratar de predecir el futuro de Beaver ocupado, pero el éxito reciente en limitar el número le da a Ligocki una “intuición de que hay más viene”, dice.
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