Un loco intercambio de regalos navideños

Estás participando en un intercambio de regalos navideños con algunos compañeros de clase. Cada uno escriba su propio nombre en una hoja de papel y dóblela. Luego todos los estudiantes colocan sus nombres en un solo sombrero. Luego, los estudiantes sacan un nombre al azar del sombrero, uno a la vez. Si en algún momento alguien saca su propio nombre del sombrero, toda la clase comienza de nuevo y todos devuelven los nombres al sombrero. Una vez que se completa todo el proceso, cada estudiante compra un regalo para el compañero cuyo nombre extrajo. Los regalos se reparten en una gran fiesta navideña de fin de año.

En esta fiesta, usted observa que hay “bucles” de entrega de regalos dentro de la clase. Por ejemplo, el estudiante A podría haber recibido un regalo para B, quien recibió un regalo para C, quien recibió un regalo para D, quien recibió un regalo para A. En este caso, A, B, C y D formarían un bucle de longitud cuatro. Otra forma de tener un bucle de longitud cuatro es si el estudiante A recibió un regalo para C, quién recibió un regalo para B, quién recibió un regalo para D, quién recibió un regalo para A. Y, por supuesto, hay otras formas.

Si hay un total de tres estudiantes en la clase, ¿qué probabilidad hay de que formen un bucle único que incluya a toda la clase (es decir, un bucle de longitud tres)? Si hay un total de cuatro estudiantes en la clase, ¿qué probabilidad hay de que formen un único circuito que incluya a toda la clase? Si hay un total de cinco estudiantes en la clase, ¿qué probabilidad hay de que formen un único circuito que incluya a toda la clase? Si hay N estudiantes en la clase, donde N es un número grande, ¿qué probabilidad hay de que formen un bucle único que incluya a toda la clase, en términos de N?

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