Si se colocan cinco puntos como se muestra aquí y se dibujan líneas rectas entre cada par de puntos, cada línea tendrá una pendiente única. Casi todas las configuraciones de cinco puntos tienen esta propiedad.
Supongamos que se le permite colocar intencionalmente los cinco puntos en cualquier lugar siempre que no puedan contener tres puntos en la misma línea recta. ¿Cuál es el menor número posible de pendientes que se pueden formar conectando pares de puntos? ¿Cómo puedes estar seguro?
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Desafío: ¿Cuál es el menor número posible de pendientes determinadas por cualquier número de puntos? ¿Puedes probarlo?
Respuesta:
Tres rectas que forman un triángulo siempre tendrán tres pendientes diferentes: si dos de las rectas fueran paralelas (y por tanto tuvieran la misma pendiente), no podrían encontrarse en una esquina. Esto significa que el número mínimo de pendientes entre tres puntos que no están en línea recta es tres.
Considere cualquier configuración de cinco puntos en la que no haya tres puntos en línea. Encuentra el punto más bajo y traza una línea a partir de él, registrando los ángulos en los que toca los otros puntos. Si dos puntos comparten el mismo ángulo, ambos están en línea con el punto más bajo, lo que significa que nuestra disposición de cinco puntos no es válida. Como eso no está permitido, debemos tener cuatro pistas únicas. Ahora dibuja una línea desde el primer punto que tocaste hasta el último. Esta línea forma triángulos con todas las demás líneas y, por lo tanto, debe darnos una quinta pendiente, por lo que el número de pendientes es al menos cinco. ¿Pero existe una configuración con sólo cinco?
¡Sí!
Considere la configuración donde los cinco puntos forman un pentágono regular:
Amanda Montañez
Los pares de puntos forman líneas que trazan los lados del pentágono y todas las diagonales que contiene. Cada uno de los lados tiene una pendiente única. Cada una de las diagonales es paralela a uno de los lados y, por tanto, tiene la misma pendiente. Esto nos da cinco pistas en total.
Solución del desafío:
La respuesta para n puntos es n pendientes y, en cada caso, la configuración que realiza esto es un polígono regular. Según el argumento anterior, debe haber al menos n pendientes entre los n puntos. En un polígono de lados impares, cada diagonal interna es paralela a un lado, como se demostró arriba. En el caso impar, la cosa se vuelve un poco más complicada. Los lados vienen en pares paralelos, lo que da n⁄2 pendientes únicas de los lados del polígono, y cada diagonal interna es paralela a un lado o paralela a otra diagonal que salta un punto a lo largo del borde. Hay n⁄2 pendientes únicas de las diagonales internas, lo que da n pendientes en total.
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