Un sudoku de gran dimensión demuestra que los matemáticos estaban equivocados en un problema de geometría de larga data

Un sudoku de gran dimensión demuestra que los matemáticos estaban equivocados sobre un problema de geometría de larga data

Por Max Springer

Colocar baldosas en el suelo de un baño bidimensional es una renovación sencilla, pero los investigadores han descubierto que en dimensiones superiores podría convertirse en un desconcertante caos que no se repite. Nuevos resultados echan por tierra una antigua conjetura sobre las baldosas y muestran otra forma en la que el desorden debe surgir del ámbito estructurado de las matemáticas.

En términos generales, un mosaico es una forma de cubrir un espacio con muchas piezas pequeñas (azulejos). que encajan entre sí sin huecos ni superposicionesUn suelo de baño interminable o un maletero de coche infinitamente grande que se carga para un viaje por carretera son ejemplos naturales en dos o tres dimensiones. Un mosaico es “periódico” si las copias de una única forma encajan en un patrón que se repite en todas las direcciones para llenar el espacio, similar a la tarea hercúlea de llenar un maletero de coche infinito con equipaje de tamaño idéntico dispuesto en un patrón. La conjetura del mosaico periódico que este estudio adoptó dice que cada forma que puede revestir un espacio sin rotar ni voltearse debe poder hacerlo de forma repetitiva y regular.

Los autores del estudio, que publican en el Anales de Matemáticasrefutó esta conjetura al construir un mosaico estrictamente aperiódico, es decir, uno que cubra completamente un espacio sin ningún patrón regular. Para ello, tradujeron el problema de mosaico geométrico a uno algebraico definido por un sistema de ecuaciones. Cada ecuación captura las restricciones a las que debe adherirse un mosaico, como no rotaciones ni espacios entre los mosaicos, formando una especie de “lenguaje de mosaico”, dice la coautora del estudio Rachel Greenfeld, matemática de la Universidad Northwestern.

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Con la adición de más restricciones en este lenguaje, el número potencial de soluciones se reduce de la misma manera que hay menos números posibles que se pueden poner en un cuadrado de Sudoku a medida que se completa más parte del rompecabezas. La solución final, una secuencia de números que no se repite, se puede traducir de nuevo a una ficha estrictamente aperiódica, lo que refuta la conjetura. “La colocación de fichas no es lo suficientemente simple como para comportarse bien para siempre, pero es [also] “No es lo suficientemente complejo como para estar loco para siempre”, dice Greenfeld.

Al refutar el resultado, los investigadores “casi encuentran una manera de convertir la forma de una baldosa en un lenguaje de programación”, dice el científico informático de la Universidad de Waterloo Craig Kaplan. Debido a que el resultado se obtuvo añadiendo cada vez más restricciones, que se traducen en dimensiones adicionales, el contraejemplo resultó funcionar en un espacio de dimensiones extremadamente altas, algo así como 10^100.000 dimensiones (es un número con 100.000 dígitos).

“Los mosaicos de alta dimensión son enormemente complejos”, dice el coautor del estudio Terence Tao, matemático ganador de la Medalla Fields en la Universidad de California en Los Ángeles. “La situación parece funcionar mucho mejor en mosaicos de baja dimensión”. [space]siendo las tres dimensiones la frontera actual de la investigación”. Comparando este espacio intuitivo con el resultado de alta dimensión, dice, estamos “en el límite entre el orden y el caos completo”.