Tres de las paradojas más extrañas de las matemáticas

A veces, nuestras corazonadas nos llevan por mal camino, sobre todo en matemáticas, donde constantemente nos topamos con resultados que parecen imposibles. Por ejemplo, el infinito no tiene No siempre es igual al infinitoy las tortugas pueden superar a los atletas humanos—al menos desde cierto punto de vista matemático.

También hay muchos escenarios que parecen contradictorios a primera vista (o segunda o tercera). Sin embargo, estas paradojas pueden explicarse. No son errores, sino más bien recordatorios de que no debemos confiar demasiado en nuestra intuición en matemáticas. A continuación, se presentan tres de las paradojas más extrañas en este campo.

Hotel de Hilbert

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Imagina que estás de viaje a una ciudad y has olvidado reservar una habitación con antelación. Por suerte, te encuentras con un bonito hotel que lleva el nombre del famoso matemático David Hilbert, cuyo trabajo aprecias enormemente. Te acercas a la recepción y ves que el hotel tiene un número infinito de habitaciones: los números de las habitaciones corresponden a los números naturales 1, 2, 3, 4,… sin llegar nunca a un fin.

El recepcionista te dice que el hotel está completo, pero tú sabes hacer matemáticas, así que no te dejas engañar tan fácilmente. Conoces un truco que te permitirá a ti (y a todos los demás huéspedes) encontrar una habitación también. Le sugieres al recepcionista que cada huésped se traslade a la habitación que esté un número más arriba que su alojamiento actual. Así, la persona de la habitación 1 va a la habitación 2, la persona de la habitación 2 a la habitación 3, y así sucesivamente.

Como el hotel de Hilbert dispone de un número ilimitado de habitaciones, incluso cuando está completo, hay espacio para más huéspedes. Y no se trata de una sola persona: podrían haber llevado a un autobús lleno de gente que también quisiera una habitación. En este caso, los huéspedes del hotel tendrían que mudarse no solo a una habitación, sino a varias.

La cosa se pone aún más extraña. Incluso si llevas a un número infinito de personas al hotel de Hilbert, puedes alojarlas en el hotel que está completamente reservado. Para ello, el huésped de la habitación 1 tendría que trasladarse a la habitación 2, el huésped de la habitación 2 a la habitación 4, el huésped de la habitación 3 a la habitación 6, y así sucesivamente. A medida que cada persona se muda a una habitación con un número que es el doble de su número de habitación actual, quedan disponibles un número infinito de habitaciones impares.

El matemático alemán David Hilbert presentó esta supuesta paradoja durante una conferencia sobre el infinito en 1925. El ejemplo ilustra cómo no todos los conceptos pueden transferirse de casos finitos a casos infinitos: las afirmaciones “todas las habitaciones están ocupadas” y “el hotel no puede aceptar más huéspedes” son sinónimas en el mundo real, pero no en un mundo con infinitos.

La paradoja del cumpleaños

La siguiente paradoja es más conocida para muchos. Cuando yo iba al colegio, no era raro que varios de mis compañeros de clase cumplieran años el mismo día. De hecho, yo también cumplí años el mismo día que un compañero. A primera vista, esto parece una gran coincidencia. Después de todo, un año tiene 365 días (o 366 en años bisiestos, pero lo ignoraremos por el bien de la simplicidad) y una clase escolar consta de unos 20 a 30 estudiantes. Por lo tanto, nuestra intuición nos dice que es poco probable que dos niños nacieran el mismo día.

Pero eso no es cierto. De hecho, la probabilidad de que dos personas de un grupo de 23 tengan cumpleaños el mismo día es superior al 50 por ciento. Para entenderlo mejor, es útil no fijarse en el número de personas, sino en el número de parejas de personas. De 23 personas, (23 x 22) / 2 = 253 parejas se pueden formar, y este número supera la mitad de todos los días de un año. Sin embargo, si analizamos la probabilidad de que uno de los alumnos de una clase de 23 alumnos haya nacido en una fecha determinada, la probabilidad es solo de 1- ((365-1) /365)^23=6,1 por ciento.

La paradoja del cumpleaños surge, por tanto, del hecho de que al observar pares de estudiantes se obtienen mayores posibilidades que si sólo se observan individuos.

Este hecho tiene efectos tangibles en la criptografía, por ejemplo. Si se quiere firmar un contrato digital, por ejemplo, se utilizan las llamadas “funciones hash”: el documento se convierte en una cadena de caracteres (un “hash”) de una longitud fija al firmarlo. Si se realiza el más mínimo cambio en el documento original, el hash que se forma a partir de él es completamente diferente. Al conservar el hash, el firmante puede demostrar lo que firmó originalmente, lo que hace que el proceso sea a prueba de manipulaciones. Sin embargo, existe una probabilidad extremadamente baja de que dos documentos completamente diferentes generen un mismo hash, lo que supone un riesgo para la seguridad.

Por regla general, la longitud de la función hash se elige de forma que este tipo de “colisiones” (en las que dos registros de datos diferentes producen el mismo hash) sean extremadamente raras. Sin embargo, un hacker puede llevar a cabo un “ataque de cumpleaños”: puede generar muchos documentos diferentes y comparar sus funciones hash por pares, de la misma forma que un profesor compara los cumpleaños de sus compañeros de clase en lugar de centrarse en una fecha específica y en un solo estudiante.

En la práctica, un ataque de cumpleaños podría ser así: primero creo dos contratos, V1 y V2. V1 es un contrato justo, pero V2 tiene una redacción que me favorece. Luego cambio ambos contratos en varios lugares: agrego espacios, tabulaciones y saltos de línea para crear variaciones de V1 y V2. Estos cambios son prácticamente invisibles para un lector, pero cambian drásticamente la función hash de los documentos.

Si comparo las funciones hash individuales de los contratos modificados V1 y V2 en pares, encontraré un hash coincidente mucho más rápido que si trato específicamente de reproducir un hash particular (como el de V1). Si encuentro un par coincidente de V′1 y V′2, puedo darle el contrato V′1 para que lo firme, pero luego afirmaré que firmó V′2. Debido a que ambos generan el mismo hash, el fraude no puede ser detectado por el software de firma digital.

La antinomia de Russell

El filósofo británico Bertrand Russell formuló en 1901 una paradoja a la que a veces se denomina antinomia de Russell, término que designa un enunciado que describe dos ideas aparentemente contradictorias. A diferencia del hotel de Hilbert y la paradoja del cumpleaños, la antinomia de Russell no es un resultado que simplemente escapa a nuestra intuición, sino que contradice las reglas de la lógica per se. La antinomia produce enunciados que no pueden ser ni falsos ni verdaderos.

Hay varios ejemplos que pueden ilustrar la antinomia de Russell, pero un caso famoso es la “paradoja del barbero”. Supongamos que un barbero afeita a todos los hombres de la ciudad que no se afeitan a sí mismos, y solo ¿Acaso el barbero se afeita solo? Si se afeita solo, ya no pertenece al grupo de personas que no se afeitan. Pero si no se afeita solo, entonces, por definición, tendría que afeitarse solo (porque todos los residentes que no se afeitan acuden a él).

Este problema surge debido a la mala definición de los conjuntos. En la época en que Russell presentó su antinomia, un conjunto se refería generalmente a una colección de cosas: los números naturales, por ejemplo, forman un conjunto, al igual que el conjunto de todos los habitantes que no se afeitan. Esto también permite que los conjuntos se contengan a sí mismos o se refieran a sí mismos como un todo, y estas propiedades conducen a contradicciones. Por lo tanto, esta antinomia condujo al fin de lo que los matemáticos llaman “teoría ingenua de conjuntos”.

La base de las matemáticas sigue basándose en la teoría de conjuntos, pero los conjuntos ya no son meros conjuntos, sino que deben cumplir ciertas condiciones. Por ejemplo, los conjuntos deben estar compuestos por conjuntos ya existentes y no deben hacer referencia a sí mismos, lo que descarta antinomias como la paradoja del barbero.

Para ponerlo en notación matemática: las personas de la ciudad que pueden dejarse barba y son hombres forman un conjunto. METROEse conjunto incluye a los hombres que se afeitan y a los que no. A continuación, el conjunto do incluye a todos los clientes del barbero. Para formar dotienes que seguir las reglas de la teoría de conjuntos moderna: si el barbero es un hombre con barba, o parte de ella METROentonces el conjunto de clientes no puede definirse como “todo residentes varones que no se afeitan”, porque en este caso la definición se referiría a sí misma, con el barbero y los clientes como parte de ella. METROLa teoría de conjuntos simplemente no permite tal definición. Pero si el barbero no es parte de METRO—por ejemplo, si el barbero es una mujer o no puede dejarse barba—entonces se permite la definición.

Ahora podemos respirar aliviados: las paradojas se han resuelto y las matemáticas no están condenadas al fracaso. Sin embargo, no hay garantía de que las reglas matemáticas no produzcan en algún momento una contradicción irresoluble. El lógico Kurt Gödel lo demostró en la década de 1930.—y al hacerlo dejó en claro que no hay certeza de que las matemáticas funcionen siempre de manera autónoma. Lo mejor que podemos hacer es esperar que nunca surja una contradicción irresoluble.

Este artículo apareció originalmente en Espectro de la ciencia y fue reproducido con permiso.