Sentarse a una noche de juegos a menudo implica una gran alegría: elegir quién va primero. Algunos juegos imponen condiciones oscuras; por ejemplo, el juego Arboretum permite que la persona que regó una planta más recientemente en la vida real dé el primer paso. Sin embargo, Eric Harshbarger, profesor de la Universidad de Auburn, adoptó un enfoque diferente: se embarcó en una búsqueda de varios años para diseñar matemáticamente dados infalibles con orden de turno.
Una forma de decidir la pregunta es hacer que todos lancen un dado y vean quién obtiene el número más alto. Sin embargo, normalmente esta estrategia introduce un problema clave: si varias personas obtienen el mismo número, deben lanzarlo nuevamente. En 2010, Harshbarger y un grupo de matemáticos comenzaron a desarrollar “Go First Dice”, que garantiza un orden de turno aleatorio con una sola tirada. Incluso se ha asociado con un pequeño fabricante para fabricarlos y venderlos.
Ahora, después de más de una década de trabajo, la Universidad de Auburn está conmemorando Go First Dice con una escultura de ellos construida por Harshbarger en exhibición en el nuevo complejo de ciencia, tecnología, ingeniería, matemáticas (STEM) y agricultura de la escuela.
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Los Go First Dice vienen en diferentes versiones, dependiendo del número de jugadores. La versión de la escultura es un conjunto de cinco dados de 60 caras que en conjunto muestran todos los números entre 1 y 300 en sus caras. Cada jugador en un juego tira un dado y cada dado es único. Después de que cada jugador haya tirado una vez, juegan en el orden de los números que sacaron, del mayor al menor. Como no hay empates, no es necesario volver a tirar.
Un desafío matemático al diseñar estos conjuntos fue colocar los números en los dados de una manera que hiciera que cualquier jugador tuviera la misma probabilidad de jugar primero. Y además de eso, como señala Harshbarger, cualquier orden de turno también debe ser igualmente probable. Esto significa que cada jugador tiene las mismas posibilidades de quedar primero, que los jugadores restantes tienen las mismas posibilidades de quedar segundo, y así sucesivamente. Harshbarger llama a esta idea equidad de permutación.
“‘Go First Dice’ es en realidad un nombre un poco inapropiado en este momento”, dice. “Los dados que estamos buscando estos días en realidad tienen la misma probabilidad para cualquier orden de los jugadores, y esto es mucho, mucho más difícil”.
Lograr dados de “permutación justa” para cinco jugadores no fue tarea fácil, y Harshbarger quería conmemorarlo con una pieza para el nuevo complejo. Talló a mano una réplica de un metro de ancho de cada uno de los cinco dados usando un tipo diferente de madera (pino, álamo, roble rojo, nogal y caoba) para cada uno y se apresuró a terminarlos a tiempo para la inauguración del complejo.
“De hecho, me ganaba la vida construyendo esculturas y mosaicos con ladrillos LEGO”, dice Harshbarger sobre su época anterior a ser profesor universitario. “Así que fui directamente al jefe del departamento y le dije: ‘Escuche, si queremos que se hagan estas cosas, tengo esta idea para unos dados gigantes de 60 caras’”.
Unos años antes, no le habría sido factible ni siquiera tallar una estructura así, y mucho menos fabricar los dados. Aunque él y sus colaboradores habían ideado conjuntos más simples de Go First Dice para tres y cuatro jugadores, durante años se les escapó una solución que lograra una permutación justa para cinco jugadores. Lo mejor que se le ocurrió a Harshbarger fue un juego de cinco dados de 120 caras que eran tan grandes que eran casi demasiado difíciles de manejar y esféricos para hacerlos realidad; los compara con pelotas de tenis.
Para ver por qué la equidad en la permutación es tan difícil, considere diseñar un par de “monedas Go First” para dos jugadores: una moneda tiene las caras “1” y “4” y la otra tiene “2” y “3”. Si cada jugador lanza una de las monedas, cada uno tendrá exactamente una probabilidad entre dos de obtener un número mayor que el otro y quedar primero.
Aunque suena bastante fácil, la dificultad aumenta rápidamente cuando se agregan más jugadores. Recuerde que la equidad de permutación significa que cada orden de turno tiene las mismas posibilidades de ocurrir. Por lo tanto, un juego de dados de tres jugadores no sólo debe proporcionar una probabilidad igual de que cada jugador salga primero sino que, después de seleccionar al primer jugador, debe dar a los dos jugadores restantes la misma probabilidad de quedar segundo. Cuando llegas a los dados de cinco jugadores, básicamente no necesitas asegurarte de que cada jugador salga primero una quinta parte de las veces y de que todos los problemas anidados bajo la superficie también estén satisfechos.
Una copia del tamaño de un dado del Go First Dice para cinco jugadores.
Eric Harshbarger a través de la Oficina de Comunicaciones y Marketing, Universidad de Auburn
El matemático Barry Cipra describe esta dificultad compuesta. “Una propiedad es que puedes usar los dados no sólo para decidir quién va primero, sino también quién va segundo, tercero, cuarto y quinto; de nuevo, cada resultado posible ocurre con la misma probabilidad”, dice. “La otra propiedad es que si tienes menos de cinco jugadores, cada uno puede elegir un dado al azar, y el resultado de sus tiradas aún asigna la misma probabilidad a cada posible… resultado”.
Más allá de las complicadas matemáticas, Harshbarger también enfrentó el problema de hacer que el Go First Dice para cinco jugadores pareciera, bueno, un juego de dados. No todos los números de caras se pueden convertir en una forma regular en forma de troquel. Aunque se sabía que eran posibles conjuntos difíciles de manejar, no era fácil convertirlos en dados enrollables, venderlos a entusiastas o, para Harshbarger, tallarlos en bonitas esculturas. Aquí es donde se sentó Go First Dice para cinco jugadores durante un rato.
Luego, en 2023, el ingeniero de software de Google y entusiasta de las matemáticas, Paul Meyer, se enteró del proyecto a través de un vídeo en el canal de YouTube Numberphile y se dio cuenta de que tenía los conocimientos necesarios para lograr algunos avances. “Juego muchos juegos de mesa”, dice Meyer. “Tengo algo de experiencia en matemáticas… Soy ingeniero de software”. Con estas habilidades combinadas, se puso a trabajar intentando construir un algoritmo para encontrar una solución.
Go First Dice se enmarca dentro del campo de la combinatoria, las matemáticas del conteo. En combinatoria, las computadoras han sido invaluables para buscar posibles soluciones a problemas de conteo, pero en este caso, la escala se vuelve inmanejable demasiado rápido. Meyer estima que el número de combinaciones de dados de cinco jugadores que se arrastran totaliza alrededor de 10.200, más que el número de átomos en el universo observable.
Meyer encontró patrones para Go First Dice a mano, con la esperanza de ampliar los patrones para conjuntos de cuatro jugadores para llegar a cinco jugadores. Este trabajo dio sus frutos y pudo reducir el número de posibilidades a “quizás 100 mil millones, o hasta un billón de configuraciones diferentes”, estima. Aproximadamente 10 minutos después de ejecutar su algoritmo en estas relativamente pocas posibilidades, encontró una respuesta. Esa respuesta es lo que ahora se destaca en la Universidad de Auburn.
Si bien aún no se ha descartado encontrar un juego más simple de dados para cinco jugadores con 30 lados, tanto Harshbarger como Meyer dicen que se sorprenderían si se pudiera hacer. Entonces, con la configuración de cinco jugadores bastante establecida e inmortalizada, Harshbarger ha centrado su atención en la frontera final: seis jugadores (siete y más son demostrablemente inviables). “Creemos que hay bastantes posibilidades de que se puedan encontrar seis dados de 120 caras”, afirma. “No creo que haya mucho mercado allí…, pero sería una buena novedad matemática”.