El meme matemático que ha distraído a los matemáticos durante un siglo

Hace casi un siglo, a un matemático se le ocurrió un rompecabezas que parecía tan simple y, sin embargo, tan endiabladamente difícil que ha estado distrayendo a otros matemáticos desde entonces. Se ha convertido en un meme que salta de cerebro en cerebro, y muchas personas afirman haberlo resuelto, solo para ver frustradas sus esperanzas cuando la prueba se desvela. Y ten cuidado: una vez que te explique las reglas, inmediatamente querrás empezar a jugar con ellas tú mismo, y no me hago responsable de la cantidad de tiempo que pierdas.

Comienza un poco como un truco de magia. Elija un número, cualquier número – bueno, al menos cualquier número entero positivo; No intentes ser inteligente con algo como pi. Si es un número par, divídelo por 2. Si es un número impar, multiplícalo por 3 y suma 1. Luego, aplica las mismas reglas al número resultante. Haz esto el tiempo suficiente y siempre terminarás en 1.

O al menos, los matemáticos creen que así será. Si esto es cierto para todos los números enteros positivos posibles es una cuestión abierta llamada conjetura de Collatz, que lleva el nombre de Lothar Collatz, quien investigó la cuestión por primera vez en la década de 1930. Y, sorprendentemente, es una pregunta realmente difícil de responder. De hecho, Paul Erdős, uno de los matemáticos más prolíficos del siglo XX, dijo una vez que “las matemáticas tal vez no estén preparadas para tales problemas”.

Entonces, ¿por qué es tan difícil demostrar la conjetura de Collatz? Si eres como yo, cuando escuches por primera vez sobre el problema, inmediatamente tomarás tu calculadora y comenzarás a hacer números para ver si terminas en 1. De hecho, los matemáticos han usado computadoras para verificar cada número hasta 271. Desafortunadamente, esto deja una cantidad infinitamente grande de números por verificar, por lo que realmente no nos ayuda en la búsqueda de una prueba.

Un problema es que los números no se comportan de forma ordenada. Si empezamos con 1, terminamos. Para 2 lo partimos a la mitad y listo. Pero para 3, la cadena de números es: 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Para 7, es: 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Podrías notar que la cadena para 7 contiene la cadena para 3, y Ese es un aspecto interesante de Collatz: una vez que llegas a un número que ha sido verificado previamente, no necesitas verificarlo nuevamente, porque ya sabes dónde termina la cadena.

Todo esto hace que el problema sea una trampa para los matemáticos. Me acuerdo de una cita del excelente webcomic xkcd: “Hay cierto tipo de cerebro que se desactiva fácilmente. Si le muestras un problema interesante, involuntariamente deja caer todo lo demás para trabajar en él”. Y de hecho, como se ha difundido el meme de Collatz, eso es exactamente lo que ha sucedido.

Definiendo lo desconocido

Determinar el origen de la conjetura de Collatz es sorprendentemente difícil, aunque no tanto como encontrar una prueba. En una carta de 1980, Collatz escribió que comenzó a investigarlo “hace casi 50 años”. Parece que se guardó la conjetura para sí durante muchos años, presumiblemente viéndola nada más que una curiosidad ociosa. No comenzó a difundirse más ampliamente hasta 1950, cuando Collatz fue al Congreso Internacional de Matemáticos (la reunión más grande en este campo) y charló informalmente sobre el problema con otros asistentes.

Desde allí se extendió a través de redes matemáticas e incluso parece haber sido redescubierto y rebautizado por otros matemáticos, con muchos nombres, como el problema de Siracusa, el algoritmo de Hasse o incluso simplemente el problema 3x+1. Según Jeffery Lagarias, que ha estudiado exhaustivamente la conjetura, no apareció impresa hasta 1971, cuando fue descrita como “un chisme matemático”, pero realmente llegó a las grandes ligas un año después, cuando Martin Gardner escribió sobre ello en su columna Mathematical Games para Scientific American. Si no lo ha conocido antes, Gardner es una figura legendaria en el campo de las “matemáticas recreativas”, esencialmente cosas que los investigadores matemáticos serios menosprecian un poco, mientras disfrutan en secreto junto con otros fanáticos de las matemáticas.

La conjetura de Collatz continuó durante un tiempo a caballo entre la línea entre las matemáticas recreativas y las de investigación. Me hizo gracia encontrar un artículo de 1983 titulado “No intente resolver estos problemas”, que enumera la conjetura, junto con otras, advirtiendo a los matemáticos que se alejen sabiendo que inevitablemente sucumbirán a la tentación.

Uno de los primeros grandes resultados se produjo en 1976, cuando Riho Terras demostró un resultado importante. Notarás que si comienzas con un número par, tu cadena Collatz siempre cae por debajo de este número inicial porque el primer paso es dividirlo a la mitad. Sin embargo, si comienzas con un número impar, tu primera parada estará por encima de tu número inicial, por lo que la pregunta es: ¿cuánto tiempo hasta que vuelvas a bajar por debajo de tu punto de partida, con suerte en tu camino hacia 1? Terras llamó a esto el “tiempo de detención” de un número y demostró que en casi todos los casos, el tiempo de detención es finito, lo que significa que los números eventualmente disminuyen, en lugar de explotar para siempre.

Esto no es suficiente para probar la conjetura de Collatz, ya que un solo contraejemplo de un número inimaginablemente grande que nunca llega a 1 sería suficiente para refutarla. También es insatisfactoriamente impreciso: ¿qué significa “casi todo” cuando se trata de infinitas posibilidades? Se lograría mayor precisión en 2002, cuando Ilia Krasikov y Lagarias demostraron que para un número dado x, al menos x0,84 números por debajo eventualmente llegarán a 1. Esto es un poco confuso; por ejemplo, si tomamos x como 100, eso significa que al menos 47 números por debajo de 100 llegarán a 1. De hecho, sabemos que cada número por debajo de 100 llega a 1, pero lo que hace la prueba es poner un límite explícito a las incógnitas de Collatz.

El mayor avance se produjo en 2019, cuando Terrence Tao, posiblemente el matemático vivo más grande del mundo, decidió intentar resolver este notorio problema. Demostró una versión mucho más sólida del resultado de Terras, demostrando que no sólo “casi todos” los números eventualmente caen por debajo de su punto inicial, sino que, efectivamente, se pueden bajar tanto como se desee. Esto parece bastante cercano a una prueba de la conjetura de Collatz, excepto que, en cierto sentido, no lo está más, porque siempre existe la posibilidad de que haya un contraejemplo acechando en los confines más lejanos de la recta numérica.

Entonces, ¿qué sigue para la conjetura de Collatz? Mientras escribía esta columna, surgió la noticia de que OpenAI había utilizado un modelo de lenguaje grande para resolver un problema importante que había desconcertado a los matemáticos durante 80 años. Lo hizo no demostrando que era correcto, sino encontrando un contraejemplo inesperado. ¿Podría pasar lo mismo con Collatz? No me atrevería a hacer predicciones a estas alturas, pero ciertamente sería irónico que un problema que ha infectado tantas mentes humanas terminara siendo resuelto por una IA.

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